中国剩余定理的应用实例——韩信点兵 _小知识

小编来今天给同学们带来的趣味数学故事是：中国剩余定理的应用实例——韩信点兵。
【中国剩余定理的应用实例——韩信点兵】每天10分钟头脑大风暴，开发智力，培养探索能力，让你成为学习小天才。
故事适合年级：小学【中国剩余定理的应用实例——韩信点兵】趣味小故事：物不知其数问题出自一千六百年前我国古代数学名著《孙子算经》。原题为："今有物不知其数，三三数之二，五五数之三，七七数之二，问物几何?"
这道题的意思是：有一批物品，不知道有几件。如果三件三件地数，就会剩下两件;如果五件五件地数，就会剩下三件;如果七件七件地数，也会剩下两件。问：这批物品共有多少件?
变成一个纯粹的数学问题就是：有一个数，用3除余2 ，用5除余3 ，用7除余2.求这个数。
这个问题很简单：用3除余2 ，用7除也余2 ，所以用3与7的最小公倍数21除也余2 ，而用21除余2的数我们首先就会想到23;23恰好被5除余3 ，所以23就是本题的一个答案。
这个问题之所以简单，是由于有被3除和被7除余数相同这个特殊性。如果没有这个特殊性，问题就不那么简单了，也更有趣儿得多。
我们换一个例子;韩信点一队士兵的人数，三人一组余两人，五人一组余三人，七人一组余四人。问：这队士兵至少有多少人?
这个题目是要求出一个正数，使之用3除余2 ，用5除余3 ，用7除余4 ，而且希望所求出的数尽可能地小。
如果一位同学从来没有接触过这类问题，也能利用试验加分析的办法一步一步地增加条件推出答案。
例如我们从用3除余2这个条件开始。满足这个条件的数是3n+2 ，其中n是非负整数。
要使3n+2还能满足用5除余3的条件，可以把n分别用1 ， 2 ， 3 ， …代入来试。当n=1时， 3n+2=5 ， 5除以5不用余3 ，不合题意;当n=2时， 3n+2=8 ， 8除以5正好余3 ，可见8这个数同时满足用3除余2和用5除余3这两个条件。
最后一个条件是用7除余4.8不满足这个条件。我们要在8的基础上得到一个数，使之同时满足三个条件。
为此，我们想到，可以使新数等于8与3和5的一个倍数的和。因为8加上3与5的任何整数倍所得之和除以3仍然余2 ，除以5仍然余3.于是我们让新数为8+15m ，分别把m=1 ， 2 ， …代进去试验。当试到m=3时，得到8+15m=53 ， 53除以7恰好余4 ，因而53合乎题目要求。
我国古代学者早就研究过这个问题。例如我国明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》(1593年)中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法：
三人同行七十稀，
五树梅花甘一枝，
七子团圆正半月，
除百零五便得知。
"正半月"暗指15."除百零五"的原意是，当所得的数比105大时，就105、105地往下减，使之小于105;这相当于用105去除，求出余数。
这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是3、5、7时，用70乘以用3除的余数，用21乘以用5除的余数，用15乘以用7除的余数，然后把这三个乘积相加。加得的结果如果比105大，就除以105 ，所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解。
按这四句口诀暗示的方法计算韩信点的这队士兵的人数可得：
70×2+21×3+15×4=263 ，
263=2×105+53 ，
所以，这队士兵至少有53人。
在这种方法里，我们看到：70、21、15这三个数很重要，稍加研究，可以发现它们的特点是：
70是5与7的倍数，而用3除余1;
21是3与7的倍数，而用5除余1;
15是3与5的倍数，而用7除余1.
因而
70×2是5与7的倍数，用3除余2;
21×3是3与7的倍数，用5除余3;
15×4是3与5的倍数，用7除余4.
如果一个数以a余数为b ，那么给这个数加上a的一个倍数以后再除以a ，余数仍然是b.所以，把70×2、21×3与15×4都加起来所得的结果能同时满足"3除余2、用5除余3、用7除余4"的要求。一般地，