中国剩余定理的应用实例——韩信点兵( 二 ) _小知识

70m+21n+15k(1≤m<3 ， 1≤n<5 ， 1≤k<7)
能同时满足"用3除余m、用5除余n、用7除余k"的要求。除以105取余数，是为了求合乎题意的最小正整数解。
我们已经知道了70、21、15这三个数的性质和用处，那么，是怎么把它们找到的呢?要是换了一个题目，三个除数不再是3、5、7 ，应该怎样去求出类似的有用的数呢?
为了求出是5与7的倍数而用3除余1的数，我们看看5与7的最小公倍数是否合乎要求。5与7的最小公倍数是5×7=35 ， 35除以3余2 ， 35的2倍除以3余2 ， 35的2倍除以3就能余1了，于是我们得到了"三人同行七十稀".
为了求出是3与7的倍数而用5除余1的数，我们看看3与7的最小公倍数是否合乎要求。3与7的最小公倍数是3×7=21 ， 21除以5恰好余1 ，于是我们得到了"五树梅花甘一枝".
为了求出是3与5的倍数而用7除余1的数，我们看看3与5的最小公倍数是否合乎要求。3与5的最小公倍数是3×5=15 ， 15除以7恰好余1 ，因而我们得到了"七子团圆正半月".
3、5、7的最小公倍数是105 ，所以"除百零五便得知".
依照上面的思路，我们可以举一反三。
例如：试求一数，使之用4除余3 ，用5除余2 ，用7除余5.
解我们先求是5与7的倍数而用4除余1的数;5与7的最小公倍数是5×7=35 ， 35除以4余3 ， 3×3除以4余1 ，因而35×3=105除以4余1 ， 105是5与7的倍数而用4除余1的数。
我们再求4与7的倍数而用5除余1的数;4与7的最小公倍数是4×7=28 ， 28除以5余3 ， 3×7除以5余1 ，因而28×7=196除余5余1 ，所以196是4与7的倍数而用5除余1的数。
最后求是4与5的倍数而用7除余1的数：4与5的最小公倍数是4×5=20 ， 20除以7余6 ， 6×6除以7余1 ，因而20×6=120除以7余1 ，所以120是4与5的倍数而用7除余1的数。
利用105、196、120这三个数可以求出符合题目要求的解：
105×3+196×2+120×5=1307.
由于4、5、7的最小公倍数是4×5×7=140 ， 1307大于140 ，所以1307不是合乎题目要求的最小的解。用1037除以140得到的余数是47 ， 47是合乎题目的最小的正整数解。
一般地，
105m+196n+120k(1≤m<4 ， 1≤n<5 ， 1≤k<7)
是用4除余m ，用5除余n ，用7除余k的数;(105m+196n+120k)除以140所得的余数是满足上面三个条件的最小的正数。
上面我们是为了写出105m+196n+120k这个一般表达式才求出了105这个特征数。如果只是为了解答我们这个具体的例题，由于5×7=35既是5与7的倍数除以4又余3 ，就不必求出105再乘以3了。
35+196×2+120×5=1027
就是符合题意的数。
1027=7×140+47 ，
由此也可以得出符合题意的最小正整数解47.
《算法统宗》中把在以3、5、7为除数的"物不知其数"问题中起重要作用的70、21、15这几个特征数用几句口诀表达出来了，我们也可以把在以4、5、7为除数的问题中起重要作用的105、196、120这几个特征数编为口诀。留给读者自己去编吧。
凡是三个除数两两互质的情况，都可以用上面的方法求解。