几何学悖论:使人为难的编织问题
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故事适合年级:小学二年级【几何学悖论:使人为难的编织问题】趣味小故事:,M:文迪女士要买一个皮手镯 。
M:在卢克的商店里她看到两个手镯 , 每个都由三条带构成 , 其中一个已经编好了 , 另一个还没有编 。
文迪:编好的那个手镯要多少钱?
卢克:五美元 , 太大 。但您来晚了 , 它已经卖出了 。
文迪:唷!还有手镯可买吗?
卢克:还有这个 。
文迪;可是它还没有编呢?
户克:我很乐意为您把它编好 , 太太 。
M:这看来好象是不可能的 , 但是卢克仅用30秒钟就把它编好了 , 并且没有切断一条带 。你看 , 他是这样开始编的 。
大多数学生仅仅把这手镯当成拓扑学的又一奇观 , 但还不止于此 。著名的德国数学家艾米尔·阿尔丁创立了一套有关“编织”的理论 , 其中用到了群论 。在这个群里 , “元素”是指“编织式样” , 而“运算”是指让一个式样紧随另一式样因而产生一个新式样的过程 。而“逆元素”则是指式样的镜象 。编织问题为群论和变换理论提供了一个极好的起点 。载于《数学教师》杂志1959年5月号上阿尔丁的文章“编织理论”是一个很好的入门教材 。
令人惊异的是 , 在这个有六处交叉的手镯编织过程中 , 三条带子的端部始终是连结在一起的 。这就意味著 , 编好的手镯与没编的手镯是拓扑等价的 。下图表示的是编手镯的步骤 。
如果带子再长一些 , 我们就可以重复使用这个步骤 , 只要带子足够长 , 编成的手镯的交叉数可以是6的任意倍数 。如果学生们想用这种方法把硬皮革做成一个实用的手镯或编带 , 则需把皮革浸在热水里使之变得柔软以后再进行编织 。
对多于三条带子组成的手镯也可以用这种方法编织 。要想进一步了解这方面的知识请读J.A.H. 谢泼德的文章“对两端分别连在一起的若干条带子进行编织” , 载于《皇家学会会报 , A》第265卷(19623年) , 229——244页 。
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