「」自然常数e到底自然在哪( 二 )

首先，我们需要知道e 这个表示自然底数的符号是由瑞士数学和物理学家Leonhard Euler(莱昂纳德·欧拉)命名的，取的正是Euler的首字母“e ” 。
Leonhard Euler (1707-1783)
(图片来源: Wikipedia)
但实际上，第一个发现这个常数的，并非欧拉本人，而是雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli）。
伯努利家族
伯努利家族是17?18世纪瑞士的一个赫赫有名的家族，其中出了很多著名的数理科学家，雅可比·伯努利是约翰·伯努利（Johann Bernoulli）的哥哥，而约翰·伯努利则是欧拉的数学老师。总之，大佬们之间有着千丝万缕的联系。
要了解e 的由来，一个最直观的方法是引入一个经济学名称“复利(Compound Interest)” 。
复利率法（英文：compound interest），是一种计算利息的方法。按照这种方法，利息除了会根据本金计算外，新得到的利息同样可以生息，因此俗称“利滚利”、“驴打滚”或“利叠利” 。只要计算利息的周期越密，财富增长越快，而随着年期越长，复利效应亦会越为明显。 —— 维基百科
在引入“复利模型”之前，先试着看看更基本的 “指数增长模型” 。
我们知道，大部分细菌是通过二分裂进行繁殖的，假设某种细菌1天会分裂一次，也就是一个增长周期为1天，如下图，这意味着：每一天，细菌的总数量都是前一天的两倍。
(图片来源: betterexplained)
显然，如果经过x 天（或者说，经过x 个增长周期）的分裂，就相当于翻了x 倍。在第x 天时，细菌总数将是初始数量的2x 倍。如果细菌的初始数量为1 ，那么x 天后的细菌数量即为2x ：
如果假设初始数量为K ，那么x 天后的细菌数量则为K ·2x ：
因此，只要保证所有细菌一天分裂一次，不管初始数量是多少，最终数量都将是初始数量的2x 倍。因此也可以写为：
上式含义是：第x 天时，细菌总数量是细菌初始数量的Q 倍。
如果将 “分裂”或“翻倍”换一种更文艺的说法，也可以说是：“增长率为100%” 。那我们可以将上式写为：
当增长率不是100% ，而是50%、25%之类的时候，则只需要将上式的100%换成想要的增长率即可。这样就可以得到更加普适的公式：
这个公式的数学内涵是：一个增长周期内的增长率为r ，在增长了x 个周期之后，总数量将为初始数量的Q 倍。
以上为指数增长的简单实例，下面来看看雅可比·伯努利的发现：
假设你有1元钱存在银行里，此时发生了严重的通货膨胀，银行的利率飙到了100%（夸张一下，为了方便计算）。如果银行一年付一次利息，自然在一年后你可以拿到1元的本金（蓝色圆）和1元的利息（绿色圆），总共两元的余额。
(图片来源: betterexplained)
现在银行的年利率不变，但银行为了招揽客户，推出一项惠民政策，每半年就付一次利息。那么到第六个月的时候，你就能够提前从银行拿到0.5元的利息了。
(图片来源: betterexplained)
机智的你会马上把这0.5元的利息再次存入银行，这0.5元的利息也将在下一结算周期产生利息(红色圆) ，专业术语叫“复利” ，那么年底的存款余额将等于2.25元。
(图片来源: betterexplained)
此时，我们可以换个角度这样看：即，每个结算（增长）周期为半年，每半年的利率是50%（或者说100%/2），一年结算两次利息，且第一次结算完后，立马将利息存入。此时我们的计算公式和结果如下：
继续，假设现在银行为了和其他银行抢生意，短期不想赚钱了，每四个月就付一次利息！而机智的你依然一拿到利息就立马存入，与半年结算一次利息类似：即，每个结算周期为四个月，每四个月的利率是33.33%（或者说100%/3），一年结算三次利息，且前两次结算完后，都立马将所有利息存入。