“假”能推出“真”？数学中不为人知的秘密！ _小知识

一个简单的小题，先别看答案，来试试看：

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【“假”能推出“真”？数学中不为人知的秘密！】
所以「当 A 真时 B 一定假」，所以 T? F 是
请判断以下列命题的真假：
2≠3 ? 1.5 是有理数 (1)
2≠3 ? 1 是质数 (2)
2=3 ? 1.5 是有理数 (3)
2=3 ? 1 是质数 (4)
只有第二个是假，其他的都是真(我是认真的) 。你做对了几个？
这是挺反直觉的，第 3 个和第 4 个绝对不可能是对的啊！前提是假的，为什么命题还能是真的呢？难道胡说八道就可以证明数学命题了吗？
数学是严谨的，它的用语和自然语言和是有区别的：「?」的并不是「推出」，而是「蕴含」(条件)，「A ? B」表示「A为B的充分条件」，而不是「因为A所以B」(「A ├ B」) 。1
在「蕴涵」中，前件为「假」，后件无论为「真」还是为「假」，命题都是「真」。

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「A ? B」表示「A 是 B 的充分条件」。
所以「当 A 真时 B 假」(T? F) 这个命题是不成立的。
但这也就是唯一的「命题为假」的情况了，因为「充分条件」不满足时，A 对 B 没有约束力(A 不是 B 的必要条件)2，前件为假时，后件无论真假，都是可以的。
就拿「2=3 ? 1.5 是有理数 (3) 」来说吧，「2=3」是「1.5 是有理数」的充分条件，那么「2=3」(F) 和「1.5 是有理数」(T) 这两个命题是可以先后发生并同时存在的，因为「2=3为 F」这个事实，并不会对后者造成任何干扰。
用一句谚语来说就是「条条大路通罗马」。

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举一个生活中的例子：新药上市前要做「双盲对照实验」，「对照组」的病人吃的是假药，但是其中也不乏康复者，这就是 F ? T 的典型案例，是符合逻辑的。

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不过这和数学又有什么关系呢？平常做题的时候会用得到吗？
蕴含和推出数学上很多东西就是这样，看似无用，其实用处大着呢。
翻开一本高等数学的教科书，经常会看到书中把「?」叫做「推出」，这么说也是没错的，「├」就是在「?」的基础上加上了「因果」。
「因为 A 所以 B」，A 至少是「充分条件」，所以「?」的道理在「├」中完全适用。
「?」是比「├」更基本的道理，它和「∨」、「∧」以及「?」构成了逻辑的地基，支撑了整个数学大厦。
「2=3 ? 1.5 是有理数」为真，挺反常识的，但「2=3 ∨ 1.5 是有理数」大家就都懂了，其实「?」与「∧」都是逻辑运算，不包含任何因果的判断。
计算机里有「与门」、「或门」和「非门」，同样的也可以用电路生成「蕴含门」，但是不能用电路生成「推出门」，如果真的能做到，数学家都可以下岗了。

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借用一句数学名言：「逻辑运算」是上帝创造的，其余的都是人工作。
「反证法」是常用的证明技术，它之所以行得通，那要仰仗于「?」：想证明 ? 为 T，假设 ?? 为 T，再得到 ?? ? F，就证明了 ?? 其实为 F，那么 ? 为T 。
喏，这就是「反证法」了。
「?」保证了「反证法」是真理，但无法保证你的「反证」是真理，那是你的工作。
数学的本质这东西也能叫数学吗？！没错，这就是数学，数学早就不只是「计算」了：住店的时候，让服务生给腾个房是数学，那是「希尔伯特旅馆」；去格尼斯堡旅游，不想走冤枉路是数学，那是「格尼斯堡七桥问题」；搬家的时候想选一个沙发，还是数学，你需要知道「沙发常数」。
一种特定的研究之所以被归类为数学，并不是基于什么被研究，反倒是基于它如何被研究。
什么是数学？这基于研究的方法论：数学是研究模式的科学（science of patterns）。 3

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图自维基
最初，「数学」关注的是「计算」：数学是量的科学 —— 亚里士多德。后来，数学也是关于「几何」的学问：数学是一门研究现实世界的空间形式和数量关系的科学 —— 恩格斯。