数学定理的曲折发展史：费马大定理证明过程( 五 ) _数学定理

推理：不含方幂项的一元代数式对任何方幂没有唯一性.2n+1=9=3^2,2n+1=49=7^2 …… 4n+4=64=8^2,4n+4=256=16^2 ……2n+1=27=3^3,2n+1=125=5^3 ……
证明：一元代数式存在m次绝对非方幂式；
在一元代数式中,未知数的不同取值,代数式将得到不同的计算结果.未知数与代式计算结果间的对应关系是唯一的,是等式可逆的,是纯粹的定解关系.这就是一元代数式的代数公理.即可由代入未知数值的办法对代数式求值,又可在给定代数式数值的条件下反过来对未知数求值.利用一元代数式的这些性质,我们可实现整数的奇偶分类、余数分类和方幂分类.
当常数项为1时,完全立方数一元代数表达式的4项式的固定形式是（n+1）^3=n^3+3n^2+3n+1,它一共由包括2个方幂项在内的4个单项项元组成,对这个代数式中3个未知数项中任意一项的改动和缺失,代数式都无法得出完全立方数.在保留常数项的前提下,我们锁定其中的任意3项,则可得到必定含有方幂项的3个不同的一元代数式,n^3+3n^2+1,n^3+3n+1,3n^2+3n+1,对这3个代数式来说,使代数式的值成为立方数只能有唯一一个解,即补上缺失的第4项值,而且这个缺失项不取不行,取其它项值也不行.因为这些代数式与原立方代数式形成了固定的单项定差代数关系,这种代数关系的存在与未知数取值无关.这种关系是：
（n+1）^3-3n= n^3+3n^2+1
（n+1）^3-3n^2= n^3+3n+1
（n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1
所以得到：当取n=1、2、3、4、5 …
n^3+3n^2+1≠（n+1）^3
n^3+3n+1≠（n+1）^3
3n2+3n+1≠（n+1）^^3
即这3个代数式的值都不能等于（n+1）^3形完全立方数.
当取n=1、2、3、4、5 …时,（n+1）^3=n^3+3n^2+3n+1的值是从2开始的全体整数的立方,而小于2的整数只有1,1^3=1,当取n=1时,
n^3+3n^2+1=5≠1
n^3+3n+1=5≠1
3n^2+3n+1=7≠1
所以得到：当取n=1、2、3、4、5 …时,代数式n^3+3n^2+1,n^3+3n+1,3n^2+3n+1的值不等于全体整数的立方数.这些代数式是3次绝对非方幂式.
由以上方法我们能够证明一元代数式：n^4+4n^3+6n^2+1,n^4+4n^3+4n+1,n^4+6n^2+4n+1,4n^3+6n^2+4n+1,在取n=1、2、3、4、5 …时的值永远不是完全4次方数.这些代数式是4次绝对非方幂式.
能够证明5次方以上的一元代数式（n+1）^m的展开项在保留常数项的前提下,锁定其中的任意m项后,可得到m个不同的一元代数式,这m个不同的一元代数式在取n=1、2、3、4、5 …时的值永远不是完全m次方数.这些代数式是m次绝对非方幂式.
现在我们用代数方法给出相邻两整数n与n+1的方幂数增项差公式；
2次方时有：（n+1）^2-n^2
=n^2+2n+1-n^2
=2n+1
所以,2次方相邻整数的平方数的增项差公式为2n+1.
由于2n+1不含有方幂关系,而所有奇数的幂方都可表为2n+1,所以,当2n+1为完全平方数时,必然存在n^2+（2√2n+1）^2=（n+1）^2即z-x=1之平方整数解关系,应用增比计算法则,我们即可得到z-x=2,z-x=3,z-x=4,z-x=5……之平方整数解关系.但z-x＞1的xyz互素的平方整数解不能由增比法则得出,求得这些平方整数解的方法是：
由（n+2）^2-n^2=4n+4为完全平方数时得出全部z-x=2的平方整数解后增比；
由（n+3）^2-n^2=6n+9为完全平方数时得出全部z-x=3的平方整数解后增比；
由（n+4）^2-n^2=8n+16为完全平方数时得出全部z-x=4的平方整数解后增比；
……
这种常数项的增加关系适合于全体整数,当取n=1、2、3 … 时,我们可得到整数中全部平方整数解.
所以费马方程x^n+y^n=z^n在指数为2时成立.
同时,由于所有奇数的幂方都可表为2n+1及某些偶数的幂方可表为4n+4,6n+9,8n+16 …… 所以,还必有x^2+y^n=z^2整数解关系成立.
3次方时有：（n+1）^3-n^3
=n^3+3n^2+3n+1-n^3
=3n^2+3n+1
所以,3次方相邻整数的立方数的增项差公式为3n^2+3n+1.
由于3n^2+3n+1是（n+1）^3的缺项公式,它仍然含有幂方关系,是3次绝对非方幂式.所以,n为任何整数时3n^2+3n+1的值都不是完全立方数,因而整数间不存在n^3+（3√3n^2+3n+1 ）^3=（n+1）^3即z-x=1之立方整数解关系,由增比计算法则可知,也不存在z-x=2,z-x=3,z-x=4,z-x=5……之立方整数解关系.但z-x＞1的xyz互素的费马方程式不能由增比法则表出,表出这些立方费马方程式的方法是：
由（n+2）^3-n^3=6n2+12n+8,所以,n为任何整数它的值都不是完全立方数；
由（n+3）^3-n^3=9n2+27n+27,所以,n为任何整数它的值都不是完全立方数；
由（n+4）^3-n^3=12n2+48n+64,所以,n为任何整数它的值都不是完全立方数；
……
这种常数项的增加关系适合于全体整数,当取n=1、2、3 … 时,费马方程3次方关系经过增比后将覆盖全体整数.