从高中数学建模教育角度看人工智能与大数据-教师感悟( 三 ) _小知识

在高中数学中也是如此。在新课标高考方案颁布之前，高考数学的6道解答题里，解三角形或三角函数、立体几何、导数、解析几何，共4道大题，都是几何背景的题目。这样安排的原因之一是：具有几何背景的题目可以极大地关联高中数学的重要知识点，容易命制综合题目。如果这样看，不仅仅在应试中，在高中数学的教学中，将几何作为一条主线，也是大有裨益的。
不仅如此，新课标中提出了6个高中数学学科核心素养[6]：直观想象、数学抽象、数学建模、逻辑推理、数据分析和数学运算。其中，数学建模是相较上一版课标新加入的一条，其作用是在学以致用的观点下，将其它5个核心素养关联到一起。所以数学建模作为核心素养，与其说是一种技术，不如说是一种意识或观念。

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图5数学建模在六个核心素养中的作用
既然提出了核心素养，想要落实就不能不提到“基于标准的学习” 。
“基于标准的学习”是时下热门的教育理念，但是什么才是真正的标准呢？我们绝不希望学生止于记住几条公式，或者记住一堆技巧，而应是习得属于学科本质的、在未来的很多年之中可以留在思维里并在工作和生活中反复加以使用的那些原理。这些最为核心地体现学科本质的原理，在国外大学先修课程体系中被称作“BigIdeas”，在中国被翻译成“大概念” 。
2009年10月，来自美国、中国、英国、法国、加拿大、智利、墨西哥共10位IAP-IBSE专家委员会的专家汇聚苏格兰的罗斯湖畔，一起探讨在知识爆炸性增长、科学技术快速发展的形势下，基础教育阶段的科学教育应该如何进行。该会议的成果为《科学教育的原则和大概念》一书，该书明确给出了科学教育的10项原则和基础教育阶段应该学习的14个科学大概念[7] 。
可惜的是，虽然书中的14个大概念包含了4个学科的内容，但其中并没有包括数学。这里面有非常深刻的原因，不是本文讨论的要点。本文也无力给出数学学科的大概念。但是着眼于“数学建模”这一个核心素养，将其继续细分，我想可以提出如下的5条针对高中数学建模的“大概念”：
(1)数据中反映的信息能够被抽象成某些数学模式。
(2)基本假设是模型的公理化体系，不同的基本假设代表不同的观点，基本假设需要根据模型效果反复修正。相似的模型可用于解决具有等价基本假设的问题。
(3)数学模型的建立包括评价函数（或数学方程）的寻找，以及约束条件（或边界条件）的确定。
(4)参数的灵敏性分析可以为先验设定提供依据，同时也能帮助寻找核心参数。
(5)具有合理基本假设且用恰当数学方法求解的数学模型可以用来解释客观世界，并指导现实工作。
如果将前面机器学习的4个步骤和上面的这5条大概念放在一起，就会惊喜地发现：机器学习，或者说是其代表的人工智能与大数据，就是体现这5条大概念的一个优质案例。

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图6机器学习4步骤与数学建模5条“大概念”间的对应关系
既然是优质案例，就需要考虑如何在课堂当中去落实。这时首要考虑的就是学生的学情。
目前中国大陆地区的高中生，在高一时学习集合、基本初等函数、三角函数、解三角形、向量、数列、不等式，在高二时学习解析几何、立体几何、一元函数微积分初步和概率统计。在常规课程里面并没有涉及到线性代数，也没有涉及到多元函数微积分。但是线性代数以及多元函数微积分又在机器学习的理论中扮演了重要助手的角色。同时，高一的学生刚刚学习完基本初等函数之后，还没来得及见识丰富的函数的例子，对函数模型的经验储备也不足，这就使得机器学习的第一步无法有效进行。不仅如此，因为智能科技多以封装完善的产品被大众使用，大众并不了解也无需了解“智能”的数学来源，这就使得学生在刚刚接触机器学习时，对“智能”这个名词会产生困惑。
通过以上三个角度的观察，归纳出机器学习这个案例在落实的过程中将面临的三个矛盾：
矛盾1：机器学习理论中所需的丰富数学基础，和高中数学课内知识相对单薄间的矛盾。
矛盾2：机器学习对于函数模型的经验需求较高，和高一学生经验不足间的矛盾。
矛盾3：机器学习的“智能”源自数学结构，和学生感受的“智能”多源自生活间的矛盾。