自然常数 e 的故事 _小知识

E(自然常数, 也称为欧拉数)是自然对数函数的底数. 它是一个无理数, 就是说小数点后面无穷无尽, 永不重复. 与 Pi 和 sqrt(2) 不同, 它不是由几何问题上探究而来的, 而是关于增长率和变化率的常数. 但是它为什么和增长率有关呢? 让我们回到来 17 世纪, 看看发现 e 最初的问题与相关的两位大数学伯努利和欧拉吧.

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E 的出现瑞士数学家雅各布. 伯努利在研究复利的时候发现了一个有趣的现象:

假设在银行存了 1 块钱 , 而银行提供的年利率是 100%, 也就是说 1 年后连本带息, 你会得到 2 块钱;
现在假设半年就计算一次利息, 半年利率为 50% , 这种方案最终的收益会不会比上面更好呢?

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计算一年后共会获得 2.25 块钱. 恩, 看起来不错啊. 那现在计算利率周期再短一些会怎么呢? 假设每个月结算一次呢? 月利率为 1/12 , 一年后最终得到大约 2.61304 块钱, 这个方案变得更好一些.

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现在可以看出这样的规律, 利息的周期越短, 收益就更好. 那就让我们继续缩短计息的周期, 变为每周计算, 利率为 1/52 .

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甚至可以计算天利率, 或者小时, 秒来计算. 所获得的钱会越来越多. 随着 n 趋于无穷, 对于这样的连续复利, 那会是什么样子呢?

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针对这个式子的极限值到底是什么呢?

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伯努利知道会是一个 2~ 3 之间的数, 但最终的结果很可惜他并没有计算出来. 这个问题还是由 50 年后的欧拉搞定.
解开 e 的神秘面纱欧拉大神借助下面的公式计算出来小数点后 18 位.

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也就是下面的展开形式进行了计算:

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并且欧拉借助连分式的形式证明了 E 是一个无理数, 观察这个连分数的形式

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注意连分式中 2,1,2 之后出现的很规律出现的1,1,4,1,1,6,1,1,8,....

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也就是说这是能够一直被处下去的连分数, 那就意味着它是个无理数. 否则就是有理数.
e 的性质e 是描述增长率的自然常量, 并且 e^x 还是唯一具有下面性质的函数:
这个函数曲线上的每一个点的 y 值, 在该点的斜率和曲线下面积三者都是相同值.

特别是当 x =1 时, 函数值就等于 e. 斜率也是 e, 而曲线下的面积也是 e.

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也正是因为这主要性质, 使得它成为了微积分中最喜闻乐见的符号(微积分也正是描述变化率, 极限求和的数学). 所以当在微积分课程中, 每每遇到 e 的计算, 你觉得计算应该会简单很多.
既然提到了 e , 通常也会提到 - 欧拉恒等式(Euler's identity):

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这个公式被视为为数学中最美丽的方程, 因为 e, π, i, 1, 0 这些数学中最重要的常数数量同时出现在一个方程中, 在未来的某个时刻我们会单独在一篇文章中单独介绍它.
上面就是利用 Wolfram 语言制作的图解高中数学微文. 好了, 现在让我们在下一篇的中来看一看其他高中数学相关概念的动图文章.
【自然常数 e 的故事】