密码学@宇宙密码——素数的自然之美，无数天才为其折腰( 二 ) 密码学

定理(欧几里得)：有无穷多个素数
证明：为了证明这个定理，我们使用了反证法。我们假设从p1到pn的质数是有限的
p1 < p2 < p3 <…< pn 。现在考虑这个数字：
P=p1 x p2 x p3 x…x pn 。
P不可能是质数因为pn是最大的质数。然而， P也不能被任何质数pm整除，其中1≤m≤n ，因此P必须是质数，这是矛盾的。我们刚刚证明了欧几里得定理。
这个定理可能看起来很复杂，但是这个证明的基本思想是，如果只有有限多的质数，我们可以得到所有这些质数的一个列表。比如，我们只知道2 3 5 7是质数。但同样的思想适用于任何有限数量的质数。现在，如果你把它们相乘并加1 ，你会得到一个新的数， 211 ，除了1和它本身，它不能被任何数整除。我们得到了一个新的质数。你可以无限次地做这个运算每次你都会得到一个新的质数。这就是为什么质数是无限的。到目前为止，数学家们认为没有一个真正的公式可以用来找出所有的质数。
已知的最大质数是多少？
2018年1月，互联网梅森素数大搜索，发现最大的素数是2-1 ，以17世纪法国和尚马林·梅森的名字命名，该数字为23249425位，比以前的记录保持者多一百万位。
图2：自电子计算机以来，按年份划分的已知最大素数的位数图。孪生素数
当你开始按顺序写出素数时，一开始你会发现有一种独特的行为。有些质数对之间只有一个数。我们称它们为“孪生素数” 。如果p是质数，那么p+2也是质数我们称p和p+2为孪生素数。
第一个孪生素数的顺序是：
(3、5)(11、13)、(17、19)、(29、31)、(41、43)、(5961)、(71、73)、(101、103)、(107、109)、(137、139)、(149、151)、(179、181)、(191、193)、(197、199)、(227、229)、(239、241)、(269、271)、(281、283)、(311、313)、(347、349)、(419、421)、(431、433)、(461、463)、(521、523)、(569、571)、(599、601)、(617619) 。
数学家们仍然想知道孪生素数是继续出现还是会有个终止。如果我们从十亿开始寻找孪生质数，我们已经看到一对了，有一些孪生数。
(1000000007 1000000009) ， (1000000409 1000000411) ， (1000000931 1000000933) ， (1000001447 1000001449) ， (1000001789 1000001791) ， (1000001801 1000001803) 。
我们总能找到孪生素数，有了这些证据，我们就能得出这样的结论：在无穷多的素数中有无穷多对孪生素数。
2016年，两位数学家发现素数对其他以相同数字结尾的素数有一种特殊的厌恶。他们检查了最初的4000亿个质数，发现质数似乎可以避免后面跟着另一个具有相同尾数的质数。
图3：前四百万个整数标记为质数或非质数(质数为白色)质数和加密之间的关系
为什么有些聪明的人会花几年的时间去找一个不能被任何数整除的数？原因其实很简单：拯救我们的生命。
有那么多优秀的数学家为了找到一个简单的数字而花费他们的一生。这一切都与“加密”有关。质数意味着加密。
定义：加密是将信息或数据转换成代码的过程，特别是为了防止未经授权的访问。
这一事实使得质数对我们的生活和交流至关重要。大多数现代计算机密码学都是利用大数的质因数来工作的。在第二次世界大战期间，质数在秘密间谍代码中也扮演了重要的角色。
加密只是意味着通信在某种程度上被打乱了。它建立在密码学的基础上，只要人类想要保持信息机密，密码学就一直在使用。如果你看过电影《模仿游戏》，你就会知道，在二战期间，密码学的最大使用者是政府，尤其是用于军事目的的政府。同样在20世纪60年代美国和俄罗斯之间的冷战期间，美国和俄罗斯都试图阻止对方了解有关导弹和火箭发展的防御秘密以及其他军事秘密。