立体几何问题的解决关键 四棱锥的体积公式

这是高考数学一道比较基础的立体几何真题,关于直线与平面垂直以及平面与平面垂直,和四棱锥的体积问题 。立体几何题最重要的是把定理公式记牢,并能灵活运用 。如果连最基本的定理公式都记不清楚,那就完蛋了 。不过语言表达上,和课本里描述的可能大相径庭,内容保证是完全正确的 。如果不是把定理公式内化为自己的语言,又怎么能一记就记30年,甚至是一辈子呢?我们先来看题吧 。
如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,M为BC的中点,且PB⊥AM.
(1)证明:平面PAM⊥平面PBD;
(2)若PD=DC=1,求四棱锥P-ABCD的体积.

立体几何问题的解决关键 四棱锥的体积公式

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分析:(1)求证平面PAM垂直于平面PBD 。我们只需要找到其中一个平面内的一条直线,垂直于另一个平面就可以了 。注意观察 。平面APM内的直线AM,极有可能满足这个条件 。因为已知PB垂直于AM,又可证PD垂直于AM,从而一条直线垂直于平面内的两条相交线,直线就垂直于这个平面 。这是一个逆向思维的过程,几何证明题,逆向思维能力是非常重要的 。
(2)若四棱锥的高PD和底面矩形的一边DC都等于1,要求四棱锥的体积 。显然,我们只要求得底面矩形的另一条边的长度就可以了 。为此,我们可以构造一组相似三角形,利用相似三角形的边成比例的关系,来求矩形另一条边的长 。
下面组织解题过程:
(1)证明:∵PD⊥底面ABCD,AM?平面ABCD,∴PD⊥AM,
【依据的定理是:垂直于平面的直线垂直于平面内的任何直线 。】
又PB⊥AM,∴AM⊥平面PBD,
【依据的定理是:一条直线同时垂直于平面内的两条相交线,则这条直线垂直于这个平面 。】
∵AM?平面PAM,∴平面PAM⊥平面PBD.
【依据的定理是:平面内一条直线垂直于另一个平面,则这两个平面互相垂直 。这道题一共应用了立体几何关于直线与平面垂直,以及平面与平面垂直的三个重要定理】

立体几何问题的解决关键 四棱锥的体积公式

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(2)解:如图记AM交BD于Q,由1)可知∠AQB=90?,【依据与上面第一个定理相同】
∴在Rt△ABQ中,∴∠1+∠2=90?,
又在Rt△ABD中,∠3+∠2=90?,∴∠1=∠3,【同角等余】
∴Rt△AMB∽Rt△DBA,【有一组锐角相等的两个直角三角形相似】
设AD=BC=x,∵M为BC的中点,∴BM=x/2,
又BM/AB=AB/DA,即x/2=1/x, ∴x=根号2.【已经舍去了负根】
∴V四棱锥p-ABCD=AD·CD·PD/3=根号2 /3.【四棱锥的体积公式V=Sh/3】
【立体几何问题的解决关键 四棱锥的体积公式】 可以看到,第二小题运用的全是初中的知识,而第一小题运用的定理都非常基础,所以这是一道相当基础的立体几何题,对你来说,应该只是小菜一碟吧 。不论如何,仍有一些同学会觉得完成起来比较困难 。