因式分解12种方法( 四 ) _因式分解的十二种方法

例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)
a +4ab+4b =（a+2b）
3、分组分解算法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m +5n-mn-5m
m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n
= (m -5m )+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、十字相乘算法
对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解方程为(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x -19x-6
分析：1 -3
7 2
2-21=-19
7x -19x-6=（7x+2）(x-3)
5、配方算法
对于那些不能利用公式算法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解方程.
例5、分解因式x +3x-40
解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40
=(x+ ) -( )
=(x+ + )(x+ - )
=(x+8)(x-5)
6、拆、添项算法
可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解方程.
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、换元算法
有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解方程,最后再转换回来.
例7、分解因式2x -x -6x -x+2
2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x
=x [2(x + )-(x+ )-6
令y=x+ ,x [2(x + )-(x+ )-6
= x [2(y -2)-y-6]
= x (2y -y-10)
=x (y+2)(2y-5)
=x (x+ +2)(2x+ -5)
= (x +2x+1) (2x -5x+2)
=(x+1) (2x-1)(x-2)
8、求根算法
令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解方程为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6
令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0
通过综合除算法可知,f(x)=0根为 ,-3,-2,1
则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、图象算法
令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解方程为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例9、因式分解方程x +2x -5x-6
令y= x +2x -5x-6
作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2
则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、主元算法
先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解方程.
例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)
分析：此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列
a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)
=(b-c) [a -a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、利用特殊值算法
将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解方程式.
例11、分解因式x +9x +23x+15
令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105
将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值
则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）
12、待定系数算法
首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解方程.
例12、分解因式x -x -5x -6x-4
分析：易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式.
设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)
= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd
所以解得
则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)
因式分解的12种方法1、如果多项式的首项为负，应先提取负号；2、如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；3、如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；4、如果用上述方法不能分解，再尝试用分组、拆项、补项法来分解。
因式分解的步骤是什么
因式分解原则
1、分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。
2、分解因式的结果必须是以乘积的形式表示。
3、每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数。
4、结果最后只留下小括号，分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止；
5、结果的多项式首项一般为正。在一个公式内把其公因子抽出，即透过公式重组，然后再抽出公因子；
6、括号内的首项系数一般为正；
7、如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前。如(b+c)a要写成a(b+c)；