编辑导语：“随机变量”是我们经常会听到的一个词 ， 但它具体是什么 ， 它有什么样的特点？这篇文章为我们仔细讲解了“随机变量”的相关知识 ， 一起学习一下吧 。

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很久没有分享一些基础的理论知识相关的文章了 。一方面这种文章大家阅读意愿低 ， 比较难和实践结合 ， 没那么多合适的案例分享；另一方面也是不好写 ， 各种数学公式和符号 ， 电脑编辑起来真的是异常艰难 。
所以写完了统计学相关的系列后 ， 就迟迟没动笔写新的 。不过对于我们数据从业人员来讲 ， 概率、代数、统计、算法等相关的知识 ， 还是要尽可能扎实掌握的 。（统计学系列传送：《统计学基础》、《抽样分布》、《参数估计》、《区间估计》、《假设检验》）
今天和大家唠唠概率论中很重要的基础内容：随机变量的一些基础概念 ， 主要是离散型和连续型的区别 ， 以及各自的分布函数 。
一、随机变量的基础概念先聊聊一些基础的概念 。
1. 随机变量设随机试验的样本空间为S={e} ， X=X(e)是定义在样本空间上的实值单值函数 ， 则称X为随机变量 。一般以大写字母X ， Y ， Z等表示随机变量 。
关于定义 ， 理解就好 。
说白了 ， 我们就是把真实的随机事件抽象出来 ， 用随机变量来表示 ， 进行数字化、抽象化 ， 便于分析 。
随机变量分为两类：离散型和非离散型 。
离散型：若随机变量X只能取到有限个或者可列个不同值 ， 则称X为离散型随机变量 。比如抽一张纸牌 ， 一共54张 ， 把这个事件转化成随机变量 ， 这个随机变量的取值最多54个 ， 是有限的 。这就是离散型随机变量 。
非离散型：与离散型相对地 ， 非离散型随机变量指随机变量有不可列个不同取值的随机变量 。比如人的身高 ， 可以从0厘米到300厘米任取 ， 是无限个取值 ， 因此是非离散型的 。
非离散型随机变量中 ， 有一类特殊的 ， 也是我们主要关注的类型：连续型随机变量 。连续型和非离散型并不等同 ， 这点需要注意 。
2. 概率分布列与密度函数对于离散型随机变量而言 ， 我们用概率分布列描述概率分布；而对于连续型随机变量 ， 我们用概率密度函数来描述 。
以下是离散型随机变量概率分布列的示意图：

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可以看出来 ， 随机变量X的有限可列个的 ， 因此可以用上面的表格表示不同X取值时 ， 具体的概率值 。
连续型随机变量密度函数示意图如下：

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下面是常见的连续型函数的概率密度示意：

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另外 ， 关于连续型随机变量的概率密度函数还有个性质：

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这告诉我们对连续型随机变量 ， 其在任意单点处取值的概率为0 。这点很重要 。因此也可以得到推论：
即在端点上是否取到 ， 不影响整体区间的概率 。
最后 ， 无论是概率分布列还是密度函数 ， 概率之和（或者面积）都等于1 。这是概率的基础定义 。
3. 分布函数X是随机变量 ， 则函数F(x)=P(X<x)成为X的概率分布函数 ， 简称分布函数 。
对于离散型随机变量 ， 假设P(X=xk)=pk ， 则分布函数为：

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此时分布函数为阶梯函数且单调递增 。且函数值的跳跃发生在所有xk处 ， 跳跃的幅度为pk 。举个例子 ， 随机变量X的概率分布列：

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根据定义 ， 可以推导出分布函数为：

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对于连续型随机变量 ， 假设密度函数为f(x) ， 则分布函数为不定积分：

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