分数是什么分数单位是什么 _知识分享

数学中的某些理论好像都是一个个散落的珍珠，能否把它们统一在一起，这正是我感兴趣的。
把一个单位分数拆分成几个单位分数之和，至少有如下两个不同的形式：
1、分母裂项拆分基本公式之一：1/n = (n+1)/[n(n+1)]=1/(n+1)+ 1/[n(n+1)]-------（1）
2、分母裂项拆分基本公式之二：1/n= (n+k1+k2+k3+…+kn)/[n(n+k1+k2+k3+…+kn)]------（2）
（其中k1、k2、k3、…kn都是n的因数之一）
（以上基本数理来自于网络）

文章插图
思考的起点图
许多的问题总会接连不断地浮现，总希望能找出思考的头绪：
1、它们的根源从何而来？
2、如何用最通俗的语言来描述？
3、每种数理包括哪些基本知识？
如何放在一个数理框架下进行讨论呢？先看以下几个基本知识的概念：
（1）单位分数定义：我们把分子是1、分母是自然数的分数叫单位分数，记成1/n 。
（2）真分数：分子和分母都是正整数，分子小于分母的分数，它们都大于0而小于1 。大于0而小于1的分数叫做真分数。
（3）假分数：分子和分母都是正整数，分子等于分母或分子大于分母的分数，它们等于1或大于1，等于1或大于1的分数叫作假分数。
（从单位分数概念中分析得出“1/1=1”是假分数，在真分数中1/2是最大的单位分数，所以下面的单位分数中分母都从2开始，只讨论真分数形式。）
（4）分数基本运算方法（或法则）之一：分子分母同乘（或除以）一个不为0的数，其分数值不变。
通过对上面的分数基本运算方法（或法则）进行分析，基本表达式如下：
1/n = m/(mn) （m＞0 m,n∈N(自然数）)---------(3)
（即：分子分母同乘（或除以）一个不为0的数，其分数值不变。）
接下来对(3)式进行变形：
1、设m=n+k, k∈N(自然数）其(3)式基本形式变化如下：
1/n = (n+k)/[n(n+k)] =1/(n+k)+ k/[n(n+k)]-------（4）
1）设k=1时，（4）式就变成了如下形式：
1/n = (n+1)/[n(n+1)]=1/(n+1)+ 1/[n(n+1)]-------（1）
这就是开头的分母裂项拆分的基本公式之一。
所以（1）式就是从（3）式中演绎出来的特例：
（备注：演绎推理是由一般到特殊的推理方法。）
演绎推理：从一般表达式“1/n = m/(mn)”开始，先是对m分类（或限定），当满足“m=n+k”条件时，再对k分类（或限定），当满足“k=1”这个条件时就成立了。
因此m=n+1只是“1/n = m/(mn)”表达式中，m取值的一个特例。
为什么要将m变成“m=n+1”呢？如何用最通俗的语言来描述？再看下面几个基本知识的概念：
1、因数（或约数）与倍数定义：设a,b是整数，b≠0 。如果有一个整数C,它便得a＝bc,则a叫做b的倍数， b叫做a的因数。
单位分数的表达基本形式其分子只能是1.因此分子不为1时，则分子必定是分母的约数。
这就是对因数（或约数）知识点的运用。
例如因数（或约数）概念中：c/a=c/bc=1/b. （b≠0，c≠0）那么“1/b”就是单位分数的表达基本形式。
2、素数（或质数）与合数：质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数。（规定1既不是质数也不是合数）。
通过对上面素数（或质数）与合数的概念分析，我们知道对于任何自然数“1”和“它自身”都是这个自然数的约数。
因此对于任何自然数都有如下表达方式：
n=n*1（任何数乘以1都等于这个数本身）
m=n+1 则m刚好等于“n=n*1”中“n的两个因数（或约数）n与1”的和。
思考结论：单位分数拆分与这个数本身的因数（或约数）有关。n与1都是n的因数（或约数）。它们从素数（或质数）与合数的概念中得来。
当m=n+1时：
1/n = (n+1)/[n(n+1)]=1/(n+1)+ 1/[n(n+1)]-------（1）
对（1）式举例说明。
例如：
1/7=（1+7）/[7*（7+1）]
=(7+1)/(7*8)
=1/8+1/56 (对（1）式运用一次,便将“单位分数1/7拆分成2个单位分数之和”)
=9/(8*9)+1/56
=(8+1)/(8*9)+ 1/56
=1/9+1/72+ 1/56
(再次对（1）式运用,便将“分数单位分数1/7拆分成3个单位分数之和” 。
或者将1/56 拆分“ =1/8+1/ (56+1)/[56*(56+1)]=1/8+1/57+1/3192” )
……
由此可见：用这种拆了又拆，不断递进的拆分方法，可以将任何一个单位分数拆分成N个单位分数之和。
即然m=n+1只是一种特例,有没有其它的特例呢?
显然合数的因数（或约数）就不只有”1”与”它本身’，因此就会产生新的拆分方式。

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