数与代数之无限小数无限小数是循环小数吗 _知识分享

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一．概念描述
现代数学：要全面深刻地理解无限小数，有必要对实数做一个全面的了解。实数分为有理数和无理数。有理数可分为整数和分数。如果把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数，有限小数或无限循环小数，比如2=2.0，2/5=0.4，1/3=0.3333…… 。而无理数只能写成无限不循环小数，比如自然对数的底数e=2.718281828459045……；再如开方开不尽的数，像√2=1.414213562……等。无限不循环小数和无限循环小数不同，它的小数点后有无限个数位，却没有周期性的重复，换句话说就是没有规律。最有名的两个无限不循环小数就是圆周率π和自然对数的底数e 。下面我们就来说说无限小数。
无限小数的定义一般有以下两种：
①它是不能除尽的数，经过计算化为小数后，小数部分无穷尽。
②小数部分的位数是无限的小数叫作无限小数。
无限小数可以分成无限循环小数(如1÷3=0.33……，1÷7=0. 142857142857……)和无限不循环小数（圆周率π=3.1415926535 ……，到2011年为止使用IBM蓝色基因／P超级计算机已计算到60000000000000位小数，仍然没有出现循环）。
小学数学：2005年人教版教材五年级上册的第28页明确指出：小数部分的位数是无限的小数叫作无限小数。例如，0.2142857142857……就是一个无限小数。
二．概念解读
在小学数学中给出的分数定义实质上是正有理数p/q的定义，其中q≥2 。小数是分数的一种特殊表现形式，同质不同形。根据p/q的定义，在最简分数p/q中，当q可以分解为只含有因数2和5时，那么p/q可以用有限小数表示；当q可以分解为不只含有因数2和5时，那么p/q可以用无限小数表示。
我们知道，实数是由有理数和无理数组成的。实数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴上的每一个点都应该对应于唯一的一个实数。把直线用通常的方法标出 0、1、2这些整数点来，就是数轴了。这样，如果哪一个点正好落在某个整数点上，我们就可以用这个整数表示这个点。那么其他点如何表示呢？如果把0和1之间平均分成10份，第一个分点上就可以记为0.1，笫二分点可以记为0.2．第三个分点可以记为0.3 ……以此类推；如果把0和1之间平均分成100份，第一个分点上就可以记为0.01，第二个分点上可以记为0. 02，第三个分点上可以记为0.03……以此类推。在0和1之间可以平均分成10份、100份、1000份、100000000份……以此类推，我们可以无限地分下去，这样所得到的小数都是十进制小数。
现在我们把0和l之间的线段平均分成3份，第一个分点就是三分之一，如果用小数表示，首先要将0和1之间平均分成10份，三分之一落在了十等分的第三、第四两个分点之间，再把这个小线段十等分，它仍然在第三、第四两个分点之间……每次十等分，它都在第三、第四两个分点之间。那么我们只好用一个无限小数“0. 333 ……”来表示这个点了，其中的3是指过了第三个分点但没到第四个分点。而这个无限数表示的是三等分点，不是我们得到的那些十、百、千等分点。无限小数在数轴上所对应的点，都是不能用十进制小数表示的，它是一个以和它相等的分数的分母为等分数、分子为等分个数的点。
三．教学建议
(1)无限小数的意义可以通过体验来理解
例如在教学过程中，教师通常采取体验式教学。教师可首先出示“1÷3=”、“22÷7=”这样的算式让学生进行计算比赛，学生在计算过程中就会亲身体会到小数部分的无穷尽。根据学生的知识经验和心理特点，他们会对比赛跃跃欲试。比赛一开始，他们就会迅速地进行计算，当计算一段时间后，学生开始疑惑、犹豫、思考……他们会发现这样除下去永远都算不完，从而会停下来。这是学生通过计算初步体验无限的含义。为什么会出现永远也算不完这样的现象呢？教师可以引导学生通过观察竖式发现其中的道理：在进行除法计算时，每一次除完所得的余数必须比除数小，当某一个或几个余数没完没了地重复出现时，商中小数部分的某一个数字或某几个数字也会相应地重复出现。相等的余数会导致相等的商，这样余数和商就周期性地重复出现了。因此，商的小数部分的位数也就无穷无尽了。这样，学生不仅能再次体验到无限的含义，而且能理解其中的深刻道理。
【数与代数之无限小数无限小数是循环小数吗】(2)通过观察来感受无限小数的意义

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