古代印度几何学的起源则与宗教实践密切相关 , 公元前8世纪至5世纪形成的所谓“绳法经” , 就是关于祭坛与寺庙建造中的几何问题及求解法则的记载 。
中国最早的数学经典《周髀算经》事实上是一部讨论西周初年天文测量中所用数学方法的著作 , 其中第一章叙述了西周开国时期(约公元前1000年)周公姬旦同商高的问答 , 讨论用矩测量的方法 , 得出了著名的勾股定理 , 并举出了“勾三、股四、弦五”的例子 。
几何之父——欧几里得(Euclid , 公元前325-公元前265 )是古希腊数学家 。欧几里得在公元前300年编写的《几何原本》闻名于世 , 2000多年来都被看作学习几何的标准课本 , 共13卷,这本著作是现代数学的基础 , 在西方是仅次于《圣经》而流传最广的书籍 , 所以他被人们称为几何之父 。没有谁能够像欧几里得那样 , 声誉经久不衰 。现在从小学至高中所学的几何知识都属于欧氏几何(欧几里得几何)范畴 。
欧几里得在他留传了几千年的光辉著作《几何原本》中 , 用公理化方法将古希腊丰富的几何学知识整理在严密的逻辑系统之中 , 使几何学成为一门独立的、演绎的科学 。
欧几里得虽然算不上杰出的数学家 , 但确实是一位有才华的组织者 。他把当时希腊人研究几何的许多证明用更简明、逻辑的语言加以阐述 , 并把许多有用的知识收集到他的《几何原本》一书 , 该书把许多世代的几何发明和创造经过加工熔为一炉 , 是一本具有独特风格的名著 。《几何原本》写得生动而又有条理 , 对前人的许多研究成果作了认真的分析 , 并给了出色的证明 , 富于权威性 。甚至今天中学里学习的几何课本仍是从《几何原本》改写而成的 , 它为人类的精神文明起了很好的作用 , 为数学的发展奠定了基础 。
欧几里得是一位很讲究证明方法的学者 。有些数学证明题比较复杂 , 一时难于解决 , 但如果精心选择证法 , 往往可以使难化简 , 作到事半功倍 , 甚至有些长期解决不了的难题也能一针见血地得到证明 。
欧几里得天才的、完美的创造物是《几何原本》 。古希腊继承了埃及和巴比伦在实验几何学上的知识 , 运用逻辑推理的方法把几何学的研究推到高度系统化、理论化的境界 , 而欧几里得正是这样一位大师 。《几何原本》是整个人类文明发展史上的里程碑 , 是全人类文明遗产中妙用无穷的瑰宝 。
文章插图
《几何原本》从五个公设和五个公理入手 , 用逻辑推理的方法 , 演绎出内容极为丰富的几何知识 。它叙述并证明了几千年来人类有关点、线、圆和一些简单的立体几何知识 , 全书共13卷 。第1卷 , 给出了欧几里得几何学的基本概念、定义、公理、公设等;第2卷 , 面积和变换;第3卷 , 圆及其有关图形;第4卷 , 多边形及圆与正多边形的作图;第5、6卷 , 比例与相似形;第7卷 , 数论;第8卷 , 连比例;第9卷 , 数论;第10卷 , 不可通约量的理论;第11卷 , 立体几何;第12卷 , 利用“穷竭法”证明圆面积的比等于半径平方的比;球体积的比等于半径立方的比 , 等等;第13卷 , 正多面体 。
《几何原本》一书从很少的几个定义、公设、公理出发 , 推导出大量结果 , 最重要的是它给出的公理体系标志着演绎数学的成熟 , 主导了其后数学发展的主要方向 , 使公理化成为现代数学的根本特征之一 。
古希腊数学家泰勒斯曾经利用两三角形的等同性质 , 做了间接的测量工作;毕达哥拉斯学派则以勾股定理等著名 。在埃及产生的几何学传到希腊 , 然后逐步发展起来而变为理论的数学 。哲学家柏拉图(公元前429~前348)对几何学做了深奥的探讨 , 确立起今天几何学中的定义、公设、公理、定理等概念 , 而且树立了哲学与数学中的分析法与综合法的概念 。此外 , 梅内克缪斯(约公元前340)已经有了圆锥曲线的概念 。
欧几里得是一位数学教育家 。对不肯刻苦钻研、有投机取巧想法的人 , 他是持批判态度的 。据记载 , 托勒密王曾经问欧几里得 , 除了他的《几何原本》之外 , 还有没有其他学习几何的捷径 。欧几里得回答说:“在几何里 , 没有专为国王铺设的大道 。”这句话后来成为千古传诵的学习箴言 。
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