质数如何定义

质数又称素数,指在一个大于1的自然数中,除了1和此整数自身外,不能被其他自然数整除的数 。即只有两个正因数1和该自然数的自然数即为素数 。质数的个数是无穷的 。
1和0既非素数也非合数 。
质数的应用:
1、质数被利用在密码学上,所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数,编码之后传送给收信人,任何人收到此信息后,若没有此收信人所拥有的密钥,则解密的过程中即寻找素数的过程中,将会因为找质数的过程过久,使即使取得信息无意义 。
2、在汽车变速箱齿轮的设计上,相邻的两个大小齿轮齿数被设计为质数,以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数,可增强耐用度减少故障 。
3、以质数形式无规律变化的导弹和鱼雷可以使敌人不易拦截 。
4、多数生物的生命周期也是质数,这样可以最大程度地减少遇到天敌的机会 。
质数的定义是什么?质数(prime number)又称素数,有无限个 。质数定义为在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数的数称为质数 。
中文名
质数
外文名
prime number
别名
素数
例子
2、3、5、7、11、13、17、19
讨论范围
自然数集
个数
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素数两性定理
6(x)+-1=(pP)6乘以完全不等数加减1是一对孪生素数 。
其中,6(X-1=(P 6乘以阴性不等数减去1等于阴性素数;
6X)+1=P)6乘以阳性不等数加上1等于阳性素数 。
(X=/=6NM+-(M-N)阴性不等数不等于阴性上下两式;
X)=/=6NM+-(N+M)阳性不等数不等于阳性上下两式 。
(x)=/=6NM+-(M+-N) 完全不等数不等于阴阳上下四式产生的数 。
(N,M两个自然数,N=《M)
素数分布规律
以36N(N+1)为单位,随着N的增大,素数的个数以波浪形式渐渐增多 。
孪生质数也有相同的分布规律 。
以下15个区间内质数和孪生质数的统计数 。
S1区间1——72,有素数18个,孪生素数7对 。(2和3不计算在内,最后的数是孪中的也算在前面区间 。)
S2区间73——216,有素数27个,孪生素数7对 。
S3区间217——432,有素数36个,孪生素数8对 。
S4区间433——720,有素数45个,孪生素数7对 。
S5区间721——1080,有素数52个,孪生素数8对 。
S6区间1081——1512,素数60个,孪生素数9对 。
S7区间1513——2016,素数65个,孪生素数11对 。
S8区间2017——2592,素数72个,孪生素数12对 。
S9区间2593——3240,素数80个,孪生素数10对 。
S10区间3241——3960,素数91个,孪生素数18对 。
S11区间3961——4752素数92个,孪生素数17对 。
S12区间4752——5616素数98个,孪生素数13对 。
S13区间5617——6552素数108个,孪生素数14对 。
S14区间6553——7560素数113个,孪生素数19对 。
S15区间7561——8640素数116个,孪生素数14对 。(以上没有校正,可能有误差 。)
素数分布规律的发现,许多素数问题可以解决
质数的个数是无穷的 。欧几里得的《几何原本》中有一个经典的证明 。它使用了证明常用的方法:反证法 。具体证明如下:假设质数只有有限的n个,从小到大依次排列为p1,p2,……,pn,设N=p1×p2×……×pn,那么,pn加一是素数或者不是素数 。
如果pn加一为素数,则pn加一要大于p1,p2,……,pn,所以它不在那些假设的素数集合中 。
如果pn加一为合数,因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积;而N和N+1的最大公约数是1,所以pn加一不可能被p1,p2,……,pn整除,所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中 。
因此无论该数是素数还是合数,都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数 。所以原先的假设不成立 。也就是说,素数有无穷多个 。
其他数学家给出了一些不同的证明 。欧拉利用黎曼函数证明了全部素数的倒数之和是发散的,恩斯特·库默的证明更为简洁,哈里·弗斯滕伯格则用拓扑学加以证明 。
对于一定范围内的素数数目的计算
尽管整个素数是无穷的,仍然有人会问“100,000以下有多少个素数?”,“一个随机的100位数多大可能是素数?” 。素数定理可以回答此问题 。
素数分布规律的发现,许多素数问题可以解决 。
在一个大于1的数a和它的2倍之间(即区间(a, 2a]中)必存在至少一个素数 。
存在任意长度的素数等差数列 。(格林和陶哲轩,2004年[1])