( ）设是两个 级方阵 ， 则 。
,A BnABBA 注意：行列式只有乘积公式 ， 无所谓的加法 ， 减法公式ABA B 3 。
（ ）若两个向量组等价 ， 则它们所包含的向量的个数相同 。
注意：两个向量组A,B等价 BBAA组每个向量可以有组表示 ， 组每个向量可以有组表示 4.（ ）若矩阵的所有级子式全为零 ， 则的秩为 .A1r Ar 注意:的秩为至少有一个 级子式不为零 。

9、 ， 所有级子式全为零Ar Ar1r 5 。
（ ）合同变换不改变实矩阵的对称性和正定性 。
得分得分 1.5CM 2015-01-02 解答-13 高等代数 1 期末试卷 4 四、解答题四、解答题(本大题共 5 小题 ， 每小题 7 分 ， 共 35 分） 1. 设 求. . 43232 ( )421659,( )254,f xxxxxg xxxx( ),( )f xg x 解 用辗转相除法,得 所以 ， . （7 分)( ),( )1f xg xx 2. 计算行列式 。
1111 1111 1111 1111 x x x x 解:行列式特点：每一行的和相等为， x (2 分） 1111 1111 1111 11 。

10、11 x x x x 1 111 111 (2,3,4) 111 111 i xx xx cc i xx x （5 分） 21 31 41 11111111 111100 = 111100 1111000 rr rr rr xx xxx xx xxx x . （7 分） 4 32 1111 00 00 000 x xx rrxx xx x 3. 求向量组 2 11 ( ) 33 q xx 32 ( )254g xxxx 32 23xxx 432 ( )421659f xxxxx 432 42108xxxx 1 2( )xq x 2 224xx 2 23xx 2 1( ) 639r xxx 2。

11、66xx 3 69( )xq x 2( ) 1r xx 99x 99x 0 （6 分） 1.5CM 2015-01-02 解答-13 高等代数 1 期末试卷 5 1234 (2,1,3, 1),(3, 1,2,0),(1,3,4, 2),(4, 3,1,1) 的一个极大无关组 ， 并将其余向量用此极大无关组线性表示. 解 将向量按列排成矩阵,并对它作等行变换化为行最简形矩阵 。
A 21 3112 41 2 3 23141133 11332314 32413241 10211021 rr rrrr rr A 最简形（4 分) 2 12 32 42 1 5 5 113311331021 05510011 。

12、20112 0551000000000 011200000000 r rr rr rr 所以, ,是所求的一个极大无关组 ，（6 分） 1234 ,2R 12 , 且. （7 分) 312412 =2-,=-+2 4. 讨论 取何值时 ， 线性方程组 k 123 123 2 123 1, 21, xxkx xxx xkxxk (1) 有唯一解；(2） 无解;
(3) 有无穷多个解 ， 并求出此方程组的 通解. 解 对增广矩阵作行变换化为阶梯形 。
21 31 22 111111 11210220 110111 rr rr kk Ak kkkkk 阶梯形 (2 分） 32 3 1 2 2 111 0220 。

13、 00(1)(4)2(1)(1) k rr r k k kkkk (1) 当且时 ， 方程组有唯一解；1k 4k ( )( )3,R AR An （2) 当时, ， 方程组无解；4k ( )2,( )3,( )( )R AR AR AR A (3） 当时 ， 方程组有无穷多个解. （5 分)1k ( )( )23,R AR An 此时 2015-01-02 解答-13 高等代数 1 期末试卷 6 最简型,得一般解（为自由未知量) ，1 101 2 3 010 2 0000 A 13 23 33 1 1 2 3 2 xx xx xx 3 x 令 得通解为 3 ,xk 为任意常数 。
（7 分) 1 2 3 1 。

14、 2 1 1 0, 2 0 2 x xk x k 注意：此题和 12 年四（3）， 11 年四（3）为同类型题 。
13 年和 11 年答案是同一种做法；12 年是一种做法 。
5.5. 作非退化线性替换化实二次型XCY 22 1231223 ( ,)4f x x xxxx x 为规范形. 解 二次型的矩阵为 (1）分 100 012 020 A 令 ， 作非退化线性变换 ，(6 分） 100 011 1 00 2 C XCY 得所求实二次型的规范形为。
（7分） 222 123123 ( ,)-+f x x xy yy 3 3 3232 1 1 2 +2+2c 2 100 100100100100 。

15、 0-120-12010010 A020004004002 = E100100100100 010010012012 001001001001 c r rrc 010 001 100 011 1 00 2 2015-01-02 解答-13 高等代数 1 期末试卷 7 说明：一步到位化二次型为规范形的步骤： A 作行变换,接着”A 和 E”作相同的列变换 ， 当 A 化为对角元为 “1 ， 1的对角阵时,E 化为“C” 此法比同时作行列变换正确率高！推荐！ 五、证明题五、证明题（本大题共 4 小题 ， 共 25 分) 1 。
（ （本小题 7 分)证明： 维向量组线性无关的充要条件n 12 , n 是任一 维 。

16、向量 都可由线性表出.n 12 , n 证明 必要性 。
设线性无关,对任一 维向量， 因为 12 , n n 是个 维向量 ， 必线性相关 ， 而是线性 12 , n 1nn 12 , n 无关的 ， 故可由线性表出. （4分） 12 , n 充分性 。
设任一 维向量 都可由线性表出 ， 则单位向量n 12 , n 组可由线性表出 ， 又可由 12 , n 12 , n 12 , n 线性表出 ， 所以向量组与向量组等价 ，12 , n 12 , n 12 , n 故有相同的秩 ,即线性无关. n 12 , n （7 分） 2 。
（本小题 6 分）设是 级方阵且,证明:存在一个非零矩阵An0A 使得 。
BABO 证明: 。

17、由知,齐次线性方程组有非零解 ，（2 分）0A 0AX 1 作, 其中均为零向量, 则 ，(4 分） 12 (,) n B 2, , n 0B 于是 (6 分）AB 1212 (,),(0, 0, 0) nn AAAAO （）= 3. （本小题6分）设 是 级方阵且 ，是矩阵 ， 证明： An0A Bn m 1.5CM 2015-01-02 解答-13 高等代数 1 期末试卷 8。
R ABR B 证明 因为 ，(2分） R ABR B 又由知,方阵 可逆 。
所以0A A，11 =BA AB AAB 从而 ， 综合可知. 1 ( )()R BR AABR AB R ABR B 另法证明：由知,方 。

来源：(未知)

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标题：2015-01-02解答-13高等代数1期末试卷( 二 )