1、宁波职业技术学院数学教研室,高等数学,Advanced Mathematics,1,宁波职业技术学院数学教研室,高等数学,Advanced Mathematics,知识目标,1,理解无穷大与无穷小的概念,2,掌握无穷小的性质,能力目标,1,会用无穷小计算函数的极限,2,会将无穷小的数学概念与专业问题互译,2,宁波职业技术学院数学教研室,高等数学,Advanced Mathematics,实例,1,在日常生活中 ， 经常用樟脑丸来保护收藏,的衣物 ， 但我们发现随着时间推移 ， 樟脑,丸会变得越来越小 ， 最后樟脑丸的质量将,会如何变化,3,宁波职业技术学院数学教研室,高等数学,Advanced Mathema 。

2、tics,实例,2,将单摆离开铅直位置的偏度用角来度量 ， 让单摆,自己摆动 ， 考虑机械摩擦力和空气阻力 ， 在这个,过程中 ， 角的变化趋势如何,4,宁波职业技术学院数学教研室,高等数学,Advanced Mathematics,一,无穷小概念,1,无穷小的定义,0,27,lim,3,3,x,x,0,1,lim,x,x,例,时为无穷小,是当,函数,x,x,1,3,27,3,时为无穷小,是当,x,x,如果当,或,时 ， 函数,f(x,的极限是零 ， 那么称函,数,f(x,当,或,时为,无穷小,0,x,x,x,0,x,x,x,表示,常用,5,宁波职业技术学院数学教研室,高等数学,Advanced Mathematic 。

3、s,例,1,判断下列函数哪些是无穷小 ， 哪些不是无穷小,0,是当,3,x,时为无穷小,是当,1,x,时不是无穷小,1,x,3,0,1,x,x,f,0,0,lim,3,x,1,1,2,x,x,1,1,lim,1,x,x,6,宁波职业技术学院数学教研室,高等数学,Advanced Mathematics,简言之 ， 极限为,0,的量叫做无穷小量,无穷小是变量,等同,无穷小与很小的数不能,1,2,的变化趋向,无穷小必须指明自变量,即若,0,lim,0,lim,0,x,f,x,f,x,x,x,0,时的无穷小,是当,则,x,x,x,x,f,一的常数一的常数,零是可作为无穷小的惟,7,宁波职业技术学院数学教研室 。

4、,高等数学,Advanced Mathematics,2,无穷小性质,1,有限个无穷小的代数和与乘积仍为无穷小,sin,lim,1,0,x,x,x,求,例,得,有性质,时无穷小,都是,及,函数,解,1,0,sin,x,x,y,x,y,0,sin,lim,0,x,x,x,2,1,lim,2,2,2,2,n,n,n,n,n,求,例,但,均为无穷小,时,当,解,2,1,2,2,2,n,n,n,n,n,2,1,2,1,2,1,lim,2,1,lim,2,1,lim,2,2,2,2,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,8,宁波职业技术学院数学教研室,高等数学,Advanced Mathemati 。

5、cs,2,仍为无穷小,有界函数与无穷小的积,例,3,求极限,1,sin,lim,0,x,x,x,解,0,lim,0,x,x,因为,由性质,2,0,1,sin,lim,0,x,x,x,1,1,sin,x,而,例,4,求极限,sin,1,lim,x,x,x,解,0,1,lim,x,x,因为,1,sin,x,而,由性质,2,0,sin,1,lim,x,x,x,9,宁波职业技术学院数学教研室,高等数学,Advanced Mathematics,当,0,x,时,x,x,x,3,2,都是无穷小 ， 他们的积,x,x,x,3,2,趋向于零的速度,仍为无穷小 ， 那么它们的商是否也是无穷小呢,并通过列表观察,2,0, 。

6、lim,0,3,x,x,x,3,lim,2,0,x,x,x,3,2,3,2,lim,0,x,x,x,x,1,0.5,0.1,0.01,3x,3,1.5,0.3,0.03,x,2,1,0.25,0.01,0.0001,例,5,10,宁波职业技术学院数学教研室,高等数学,Advanced Mathematics,3,无穷小的比较,定义,设,和,是同一变化过程中的两个无穷小,即,lim,0,和,lim,0,如果,那么称,是,的,高阶无穷小,0,lim,如果,那么称,是,的,低阶无穷小,lim,如果,那么称,是,的,同阶无穷小,0,lim,c,c,特别是当,c=1,时 ， 即当,时 ， 则称,与,是,等价无穷 。

7、小,记作,1,lim,11,宁波职业技术学院数学教研室,高等数学,Advanced Mathematics,1,sin,lim,3,2,3,2,lim,3,lim,0,3,lim,0,0,2,0,2,0,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,高阶的无穷小,是比,x,x,3,2,低阶的无穷小,是比,2,3,x,x,同阶的无穷小,是比,x,x,3,2,是等价无穷小,与,x,x,sin,12,宁波职业技术学院数学教研室,高等数学,Advanced Mathematics,13,宁波职业技术学院数学教研室,高等数学,Advanced Mathematics,常用等价无穷小,第八节,目录,上页 。

8、,下页,返回,结束,14,宁波职业技术学院数学教研室,高等数学,Advanced Mathematics,实例,3,小王有本金,A,元 ， 银行存款的年利率为,r,不考虑个人所得税 ， 按复利计算 ， 小王第一,年末的本利和为,A(1+r,第二年末的本利和为,A(1+r,2,第,n,年末的本利和为,A(1+r,n,那,么随着存款时间推移 ， 本利和会如何变化,15,宁波职业技术学院数学教研室,高等数学,Advanced Mathematics,二、无穷大的概念,1,x,x,f,观察,时,当,0,x,无限增大,x,f,记作,lim,0,x,f,x,x,x,如,1,lim,0,x,x,称,x,1,是当,0,时的无 。

9、穷大,x,3,lim,n,n,称,n,3,是当,时的无穷大,n,1,lim,x,x,称,1,x,是当,时的无穷大,x,如果当,或,时 ， 函数,f(x,的绝对值无,限增大 ， 那么称函数,f(x,当,或,时为,无穷大,0,x,x,x,0,x,x,x,定义,16,宁波职业技术学院数学教研室,高等数学,Advanced Mathematics,注意,时极限,或,而是当,无穷大不是数,x,x,x,0,1,2,量的变化趋向,无穷大必须指明自变,但极限仍然不存在,为,极限,3,简言之,极限为,无穷,的量叫做无穷大量,的数分开,因此要把无穷大与很大,的函数,为,17,宁波职业技术学院数学教研室,高等数学,Adva 。

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标题：无穷小|无穷小与无穷大及四则运算课件