宠物养成|打开几何学秘密的神奇“咒语”

“代数轻易几何难” ，作为过来人的家长和老师都应该非常清晰，几何不仅仅有远远多出代数的定义、定理，还有各种想也想不到的“辅助线” ，以及长的吓死人的逻辑链。作为老师或者家长在指导孩子学习的时候既要有“过来人”具有的“上帝视角” ，又要理解孩子学习几何时所具有的“低纬思维” ，孩子们无法在没有逻辑思维能力的时候去理解逻辑，也无法在不懂几何变换的时候能够迅速观察出几何图形中储藏的各种各样的定理。从低纬思维进化到高纬思维需要一个路径，也就是我们常说的学习方法、教学方法。

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【宠物养成|打开几何学秘密的神奇“咒语”】学习几何的过程中，几乎每一个人，不管您现在从事什么职业，当初几乎都背诵过“海量”的几何定理。当然有的同学背着背着就会了，有的同学背着背着就“懵了” ，但是不管如何“记住”所学的几何定义、定理是学好几何学的“必要条件” ，事实已经证实，绝大部分靠记忆学习几何的基本上都失败了，但我们的孩子又不得不面对记忆海量（对于学生来说）几何定理的事情，可是如何“记忆”呢？
假如把“记忆”当作学习的一个维度的话，这种低纬学习是无法满意几何学习的需要的，我们需要把孩子们的“记忆”安排在一个高纬度的“结构”中，而孩子们在低纬的学习中自觉不自觉对自己进行“升维” 。
说起来好像很复杂，做起来实在并不难，就似乎我们天天走路的时候以为自己是在平面上运动，而事实上却是在一个球面上运动，此时就处于一种高纬意识和低纬运动并存的状态之中。学习几何也是如斯，每一个学生都在学习几何定义、定理、训练，但是把零散的定义、定理、训练让学生意识到他们是一体的且能整合在一起，就能起到升维的作用，再去解决新题目的时候也就游刃有余了。
学习几何依然脱离不了几何去除外衣之后的“内核”——逻辑，而逻辑中最重要的则是“事实” ，没有可靠的“真”的事实，几何的学习就是建立在沙滩上的高楼大厦随时都可能坍塌。学习几何之前我们需要让孩子们知道“几何是什么” ，可能许多人会说还没有学怎么知道几何是什么呢？学了才会知道的啊！对于孩子本人来说确实如斯，但是对于老师、家长以及数学家来说几何是什么是一件非常清晰的事情，假如学生在学习几何的时候能够一直明白几何是什么则会很轻易自我升维。
几何的概念就比如是一句武林秘籍中的“总纲” ，或者是“口诀” ，常常念叨会有很大晋升。我们的教科书中说“几何就是研究图形的外形、大小和位置关系的一门学科” 。这句话就是学习几何的“口诀” ，指出了几何学习的对象是“图形” ，也指出了几何的内容“外形”、“大小”和“位置关系” 。这事实上指出了几何学习的“三个维度” ，而把这三个维度按照合适的方式“放到大脑”中记住并且能够解决一些题目，则是另外一个维度——“人的思维” 。

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几何的定义，不论是老师仍是过往的学生，都经常忽视它，顶多会当作一个填空题“背诵”一下，很少把它作为具有“神奇魔力”的“咒语”指导几何的学习。
在没有学习几何之前，我们需要熟悉外部的事物，外部事物除了几何研究的对象——图形之外，还有许多其他的性质，比如说颜色、材质、质量等。而几何则是从图形的角度来熟悉事物的，而图形则要研究的它外形、大小和位置关系。
自然界和人类社会中的图形千变万化，有圆的、扁的，直的、弯的，远的、近的，大的小的……假如逐一熟悉，这几乎是一件不可能完成的事情。所以人们，尤其是数学家们就采用常用的方式，抽象出最简朴的外形，其他的外形都是最简朴外形的组合或者变形。还要会对这些最简朴的外形的大小进行度量，比如说求长度、面积、体积。还需要对不同的外形的位置关系进行判定，究竟位置关系不同会带来许多外形。分页标题
通过观察和抽象，我们得到了三个非常重要的、最简朴的图形：点、线、面。这三个图形是高度抽象的现实中无法度量的，点没有大小、线没有长度、面没有面积。假如没有点线面三个概念，就没有几何这门学科的存在。这种公理化思惟初中生暂时无法理解，但是从逻辑上来说，必需有一些不需要证实的“公理”的存在才可以保证推理的结果是可靠的。这种“刨根问底”的形而上学的精神和方法只能“公理化”来解决了，所幸运的是，点线面这三个现实中并不存在的事物，经由人的思维的加工，作为公理之后并没有影响整个欧氏几何的可靠性。这里我们也无需过度和孩子们探讨这个题目，而直接进入下一步的“口诀”中。
既然基本图形中“点”作为最简朴的，那么点的外形是什么？点的大小是什么？两个点的位置关系是什么？外形就是日常生活中见到的那些“点” ，好比“墨迹”、“笔尖”、“粉笔盒三条棱交在一起的点”……让它们没有“大小” ，就形成了几何中的“点”点概念。日常中的直线、面、体，抽象成几何中的“直线、面、体”要比我们想象中的简朴。这部分内容有经验的老师会发现在教授教养中“一切皆在不言中” ，学生很轻易理解，我们也不再赘述。

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点的外形和大小解决了，就剩下点和点位置关系需要思索了。显然两个点要么“重合”要么“相离” 。两点重合就相当于一个点，很好理解，两个点相离也很好理解，但是当我们考虑到两个点的远近的时候，就泛起了一个新的事物：线段。
线段和直线的区别就是有了长度，而直线作为抽象概念没有长度。当然在实际解决问题的过程中，我们画所有的直线实际上都是线段。两个点确定一条直线，也算是一个经验性的公理，这对于学生来说理解很轻易。
直线的外形和大小也很轻易理解，但是位置关系又是什么呢？重合、相交和平行。我们越来越发现位置关系在几何中很重要了。重合先不说，相交就构成了“角” ，又泛起对顶角的概念，尽管直线不能丈量，但是角却可以，角的外形很好理解，这里又泛起了“角的大小”以及度分秒关于角的单位。而角的大小又让我们更加轻易判定角的位置关系，进而对其分类为：锐角、直角和钝角。两条直线平行轻易理解却不好判定。
然后是点与直线的位置关系，点在直线上和在直线外两种情况。
然后三条直线位置关系，或者三条直线交于一点，或者两两相交，或者两条直线被一条直线所截。相交于一点构造了许多对顶角，两两相交则构造出了一个三角形的全貌（包括每条边的延长线），这时候就泛起了三角形的内角、外交、边等概念，跟着角的大小改变又可以对三角形进行分类；两条直线被第三条直线所截就很有趣了，假如两条直线是平行线被第三条直线所截就泛起了平行线的判断定理和性质定理，假如两条直线不是平行线就相当于两两相交（但并没有画出三角形）的部门图形。

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三条直线位置关系带来了三角形和平行线判断，然后是三角形与三角形的位置关系，又带来了全等三角形和相似三角形；四条直线的位置关系带来了四边形的内容，以及平行线分线段成比例定理；五条以上直线位置关系带来的多边形……
直线性说完之后，还会有曲线形，比如说圆，圆与点、线、三角形、四边形等位置关系。
当然更复杂的图形，我们也会从中找出最简朴我们学过的这些位置关系，那时候就是解决问题了。综上我们可以看到，我们的所以的几何知识就这么非常清楚地被一句话公道地把位置摆放好了，记忆起来就会非常地简朴。至少不会让孩子们感觉到内容许多、很杂、很乱。而是很有序、很有规律、很有趣，也很轻易按照这个方式自动、自觉地进行下一步的猜测。无外乎是点和线的数目多了一些，线段、角度的大小比较要多思索一下，各个几何图形的位置关系是重中之重。分页标题
而在这个过程中，各种分类、判定，概念的形成对于孩子的思维方法的形成和大脑的发育都非常重要。这个后面再说。
作者：虹野