总说“数学思维”，何为数学思维？

总说“数学思维” ，何为数学思维？已有 654 次阅读 2020-8-27 08:33 |系统分类:观点评述总说“数学思维” ，何为数学思维？思维概说(1)何谓思维思维是人脑对客观事物本质属性和内部规律的概括的间接的反映.认识分感性认识(包括感觉、知觉、表象)和理性认识(包括概念、判断、推理), 思维是指以感性认识为基础的理性认识, 是感性认识的概括和升华. 表象是头脑中再现的某一类事物的形象, 表象是感性认识向理性认识转化的桥梁, 概念是思维的细胞和主要形式.(2)思维的品质思维的品质是指, 思维的深刻性、广阔性、灵活性、创新性、敏捷性和批判性.(3)思维的分类到目前为止, 思维尚无统一的分类, 不同的人有不同的分类方法.按思维过程的指向分为正向思维和逆向思维, 还可分为集中思维和发散思维; 按思维的品质可分为再现性思维和创造性思维; 按是否经过明确的思考步骤分为逻辑思维和非逻辑思维, 逻辑思维又分为形式逻辑、数理逻辑和辩证逻辑, 非逻辑思维分为形象思维、想象、直觉和灵感(或顿悟).形式逻辑是关于思维形式、规律和方法的科学, 其中思维形式是概念、判断和推理; 思维规律是同一律、矛盾律、排中律和充足理由律; 思维方法是分析与综合、抽象与概括、归纳、演绎、类比和猜测.数理逻辑是用数学方法研究形式逻辑.辩证逻辑是研究思维如何正确反映客观事物的运动变化、内部矛盾和相互联系转化的科学.2. 数学思维数学思维既具有与一般科学思维的共性, 也有它自身的特点. 所谓数学思维是指, 人脑关于数学对象的理性认识过程. 数学思维与数学科学一样具有高度的抽象性、严密的逻辑性, 还具有实验、猜测、直觉、美感等特点.通常数学思维可分为逻辑思维、形象思维和直觉思维.逻辑思维是以概念为思维材料, 以语言为思维载体, 每前进一步都有充分依据的思维.它以抽象性为主要特征, 其基本形式是概念、判断和推理.形象思维是依靠形象材料的意识领会得到理解的思维, 它的主要特征是思维材料的形象化, 其基本形式是表象、直觉和想象, 它在数学中激励人们的想象力和创造性, 常常导致主要的数学发现.直觉思维是以高度省略、简化、浓缩的方式洞察问题实质的思维, 它的主要特点是能在一瞬间跳过明确的逻辑推理过程, 迅速直达问题的结论. 其基本形式是直觉与灵感(或顿悟).所谓灵感, 或顿悟, 是指人们对长期探索而未解决的问题的一种突然性醒悟, 它具有突发性、偶然性、创新性和非逻辑性.直觉是对数学结构及关系的某种直接领悟或洞察, 具有非逻辑性和下意识的自发性.逻辑思维是数学思维的核心, 形象思维是数学思维的先导. 在一般的数学思维过程中,往往是这两种思维交错运用的综合过程. 而直觉思维是这两种思维发展到一定水平后才能形成的思维.逻辑是证明的工具, 直觉是发现的工具, 它们互相补充, 交互作用, 都是数学家进行创造的武器.3. 例谈例 1极限理论体现了辩证思维.牛顿起初把变化的瞬“”看作“非零” , 变化的“”与不变的“零”绝对不同, 体现了变与不变相对立的一面. 然而牛顿缺乏辩证逻辑思维, 在最后一步不得不违心地把非零“”看作“零” , 违背了形式逻辑中的排中律, 陷入了矛盾, 不能自拔. 引入极限理论之后, 当时, 变化着的瞬“ ”自然转化为“零” , 完成了“非零”向零的转化, 这是变与不变的统一, 体现了辩证思维, 彻底解决了第二次数学危机. 辩证思维的运用, 标志着人类认识的一大进步.例 2当时, 变量是无穷小量吗?解首先利用化归方法将变量变形: （）. 经观察, 这是底数小于 1 的指数函数与常量之和, 联想到数形结合方法, 作出函数图像(图1). 从几何直观可以看出时的变化趋势 , 即时 ,. 经形象思维 , 作出逻辑判断 : 变量是时的无穷小量. 在此题求解过程中, 用到观察、表象、直感、判断等形象思维和逻辑思维, 如果还要求证明, 那么逻辑思维会更多.