喜剧西西|全等三角形之截长补短法，碰到AB+CD=EF这类问题怎么办？

前节提要：
全等三角形太难了？那是因为你还没有把握这些常见模型和辅助线
初二暑假预习，全等三角形模型之一线三角，变化多样很重要
全等三角形之半角模型，与截长补短法相结合，三种模型多种结论
在全等三角形中，当我们碰到AB+CD=EF这类问题时怎么办？用什么方法去解决呢？在这类问题中，有些题目直接证明一次全等，然后通过等量代换就可以解决，但是有些问题可能没有现成的全等三角形，需要我们自己添加辅助线构造出全等三角形，然后再通过等量代换得到结论。由“AB+CD=EF”可知，线段EF是三条线段中的最长边，线段AB和线段CD都是较短边，碰到这类问题我们可以选择截长补短法进行处理。

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“截长补短法”在初中几何数学中有着非常重要的作用，常用来证实线段之间的和差关系。这类问题可以用“截长法”或“补短法”来解决，所谓“截长法” ，就是将三条线段中最长的那一条线段分成两段，使得其中的一条线段与已知线段相等，然后再证实另外一条线段和已知线段的关系；所谓“补短法” ，就是将三条三段中较短的两条线段中任取一条，延长至与另外一条较短线段相同的长度，然后比较所得的线段与最长线段的大小关系。当问题中泛起a+b=c这种结论时，一般可以利用截长补短法解决，许多问题可能会与角平分线相结合进行考查。
常见的截长补短法添加辅助线的方法：
（1）截长法
①在线段AB（最长线段）上截取AC（某条较短线段），使得AC=EF ，连接……
②过某点作AB（最长线段）的垂线
（2）补短法
①延长AB（某条较短线段）至点C ，使得BC=EF（另外一条较短线段），连接……
②通过旋转法，使得两条较短线段在统一直线上，半角模型中可以利用这种方法

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截长补短法的解题步：
①添加辅助线（截长或补短）
②连接线段，构造全等三角形
③证实三角形全等，转移线段
例题1：如图，在△ABC中， AD平分∠BAC ， ∠C=2∠B ，试判定AB ， AC ， CD三者之间的数目关系，并说明理由．

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方法一（截长法）：要判定AB、AC、CD三者之间的数目关系，可以发现AB这条线段最长，可以猜想AB=AC+CD ，那么我们可以在AB上面截取一条线段，与线段AC或CD相等。在截取时，最好能构造出全等三角形，因此可以在线段AB上截取AE ，使得AE=AC ，则可证得△AED≌△ACD ，可得∠AED=∠C=2∠B ， ED=CD ，可证得△BDE为等腰三角形，所以有BE=DE=CD ，可得结论。

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固然说在AB上可以截取线段AC或CD ，即有四种截法，可以另AE=AC、AE=CD或者BE=AC、BE=CD ，但是我们添加辅助线的主要目的是能构造出全等三角形，因此在选择上也要稍作考虑。

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方法二（补短法）：线段AC、线段CD都是短边，同样的理论上无论延长哪条线段都可以，但是最好能够构造出全等三角形，因此可以延长AC到点F ，使CF=CD 。那么接下来的目标就是证实△BAD≌△FAD ，已经具备的前提是：（1）通过角平分线得到两个角相等；（2）一条公共边，还缺一个前提，可以通过∠C=2∠B证实到。分页标题

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例题2：如图，已知AC∥BD ， EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA ， CD过点E ，求证：AB=AC+BD

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利用截长法的思路：在AB上截取AF=AC ，连接EF ，可证实△ACE≌△AFE ，那么∠C=∠AFE ，由AC∥BD可得：∠C+∠D=180° ，再加上∠AFE+∠EFB=180° ，等角的补角相等，即∠EFB=∠D ，进一步可证实△EFB≌△EDB ，再利用全等三角形的性质结合线段的和差可证实结论。

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也可以通过两个角平分线和∠CAB+∠DBA=180°得到∠AEB=90° ，即∠CEA+∠BED=90° ， ∠AEB+∠BEF=90° ，根据等角的余角相等，得到∠FEB=∠DEB 。

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利用补短法的思路：延长BE ，与AC的延长线相交于点F ，可证实△AEF≌△AEB ，进一步可证实△BED≌△FEC ，再利用全等三角形的性质结合线段的和差可证实结论．

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