二面角的平面角如何确定是锐角还是钝角？微信昵称为“苏”的读者朋友留言问到：

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左老师，立体几何求二面角平面角时怎样判断是钝角还是锐角？难道只能目测？

苏，

现在用空间向量法求二面角，的确有这样的问题.

以前用几何法求解二面角的大小，因为能实际找到它的平面角，所以不存在这样的问题.

这就为我们提供了一种思路：是否能把几何法和向量法结合起来，进而确定这个平面角？

思路1：研究棱的法向量

如图，求二面角α-l-β的大小，我们可以从定义入手.

在二面角的棱l上取两点A、B，分别在两个半平面内做向量AC、向量BD，且使得AC垂直于棱l，BD垂直于棱l.

这样，二面角的大小就等于向量AC与向量BD的夹角.

这个方法的好处就是，向量的方向已经固定好了.

当然，这两个向量同时背向棱，我们选取两个同时指向棱的向量也可以.

看栗子.

如上图，以AB中点O为原点，建立空间直角坐标系.

在半平面CAD内，过点C作CF垂直于AD，垂足为点F.

在半平面EAD内，过点E作EG垂直于AD，垂足为点G.

下面求出向量CF和向量EG的坐标，然后求两向量的数量积，再求两向量的夹角，这个角的大小就是二面角大小.

思路2：向量外积和右手定则

回到用法向量求解二面角的思路上来.

从上图能够看出，如果两个法向量的同时进入或穿出二面角，则它们的夹角与二面角的平面角互补.

如果一个法向量进入二面角，一个法向量穿出二面角，则它们的夹角与二面角的平面角相等.

概括起来就是——同进同出角互补，一进一出角相等.

所以，问题的本质就是——判断法向量的方向，是进入二面角还是穿出二面角.

为此，我们需要学习一点向量外积的知识.

教材里所讲的向量数量积，也称为向量的点乘，又称为向量的内积.

向量外积是另外一种运算.

有兴趣的教师朋友或特别出色的同学可以找相关资料进行学习.

目前的命题趋势是，求二面角大小时一般要求其正弦值，以避免不必要的争议.

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