数学里为神马有分类讨论这个东东？朋友问你

前几天写了《

函数思想缘来是这样的啊

》，很多读者留言，希望我写写分类讨论思想.

全名：分类与整合思想

分类讨论思想的全称叫

分类与整合思想

.即先对复杂的情况进行分类，然后把各部分的结果整合在一起.

在生活中，大家有这样的体会，有人问你一个很笼统的问题，你无法给出明确的答案.

比如，有人知道我是教数学的老师，就想挑衅，问我：左老师，你每次数学考试都能考100分吗？

我应该如何回答呢？

我要说能，那就太狂了吧；我要说不能，正中提问者的下怀，人家心想：还数学老师呢，也不过如此吧.

在这样的情况下，我想到了——

分类讨论思想

于是，我回答：看情况吧.如果总分为150分，我能考100；如果总分为100分，那我考不到.

使用场景：无法给出统一的答案

刚才的场景就用到了分类讨论的思想.

解数学题也一样，当解到某一步时，无法用统一的方法，统一的表达式继续往下，就需要分类讨论，因为被研究的问题包含了多种情况.

初等数学中，哪些情况下要讨论呢？

1.有的定义、概念就是分类给出的.

比如分段函数根据自变量的不同范围有不同的解析式，比如绝对值的概念，对|x|分为x>0，x=0，x<0三类等.

2.有的公式、法则、规律、结论、定理就是分类给出的.

比如等比数列求和分为q等于1和q不等于1两种情况，直线的斜率可能存在也可能不存在，指数函数和对数函数的单调性分为a>1和0<a<1两种情况等.

3.图形的相对位置关系不确定

比如二次函数的开口向上和向下、定义域与对称轴的关系都会影响最值取得的位置.

4.奇偶项的问题

比如遇到(-1)^n的形式，需要对n的奇偶进行讨论，我在《奇偶项数列》

中多次提到过.

5.同余类问题

当我们研究某个整数是否能被k（k为正整数）整除时，需要按照以k为模的同余类进行分类.

还有很多情况需要讨论，不一一列举了.

栗子1：复合函数的单调性

2006年天津高考数学卷出了这样一道选择题.

分析：如果把指数部分看作新的自变量，则函数可化为关于这个自变量的二次函数.

为研究整个函数的单调性，需要分别研究指数函数的单调性和二次函数的单调性，为此需要分类讨论.

栗子2：数列中的同余问题

2008年北京理科的一道填空题考到了同余类问题的分类讨论.

本题涉及到k是否能整除5的问题，需要按以5为模进行同余类讨论，即研究k为5的倍数呢，还是5的倍数加1，还是5的倍数加2,还是5的倍数加3,还是5的倍数加4呢？

是不是有点繁琐？

的确，可是考试比的就是谁不烦

，谁不怕麻烦，谁就得分

根据上述规律，我们来研究这个新数列的特点.

结语：分类讨论高考必考

高考必然要考到分类讨论思想.

而分类讨论的学习重在下面三点：

1.训练分类讨论的

意识

，即第一时间敏感地知道要讨论；

2.找到分类讨论的

标准

，即不仅要知道分类讨论，还知道怎样讨论，做到不重复，不遗漏；

3.如何

简化

讨论，即知道讨论的方法，也能避开讨论或缩短讨论的进程.