斜坐标系有大用处
微信昵称为“当湖西屏”的读者朋友留言,问到下面的问题.
求助左老师,这个题目如果建系太麻烦了,当然也可以用特殊位置处理,有更好的处理方法吗?
当湖西屏,
解决平面向量问题的两个通法是基底法和建系法.
下面我从两个方法的角度都说一说.
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方法1:基底法.
首先要选择合适的基底.
标准是要有利于表示未知向量、所求向量.综合题中的情况来看,选择向量SA、SB或者向量SN、SM比较合适.
向量PQ如何用基底表示呢?
向量PQ=向量PS+向量SQ,然后分别把向量PS和向量SQ用基底来表示即可.当然,这里会用到向量共线的结论,不赘述,有兴趣的读者可以尝试.
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方法2:建系法.
通常我把这个方法叫建系法,而不叫坐标法.有的题目直接给坐标,我们进行现成的坐标运算;而有的题目根本没有坐标出现,需要我们根据具体情况主动建系.
为了区分这两种情况,我把后者叫建系法,以示区别.
在哪个位置建系呢?
本题没有直角,我们考虑建立
斜坐标系.
首先要明白这样一个道理:斜坐标系的建立与单位长度的选定、两轴的夹角无关,即不影响最终结果.(有兴趣的童鞋自己去研究,或者先接受就好)
如上图,以S为原点,以SM为x轴正半轴、SN为y轴正半轴建立斜坐标系.
不妨设N(0,1),M(1,0),因为三角形SMN相似于三角形SAB,且相似比为1:3,所以A(-3,0),B(0,-3).
下面研究点P、点Q的坐标.
点P在线段AB上运动,直线AB的方程为x+y=-3.
所以点P的坐标可设为(m,n),其中-3=<m<=0,m+n=-3.
点Q在三角形SMN内部运动,设其坐标为(p,q),则0=<p<=1,0=<q<=1,0=<p+q<=1.
本题难就难在
双动点
,一个动点是线段上的动点,一个动点是三角形内部的动点.方法就是各个击破.
更关键的是,本题合理选用斜坐标系,希望能帮你开阔眼界.
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