极值点解不粗来肿么办

2018-01-11

童鞋们经常遇到极值点存在，但是解不出来的情况，肿么办涅？

试举一例.

第（1）问按照传统教辅书的答案格式：过程略，呵呵呵.

你们没问题的.

1

求函数最值的通法

重点说第（2）问.

求函数最值的方法就是求函数的极值和端点值，然后从中挑出最大的和最小的.

注意到函数的定义域为开区间，我们估计此函数为单峰函数（只有一个极值的函数）.

下面求导数、研究极值点和极值.

到了这一步，我们发现，咦，这个函数的样子与第1问有点相似哟.

2

不是巧合

这当然不是巧合，而是命题者的有意设计——帮你搭梯子解题，即用前面的结论帮助你解后面的难题.

为利用第1问的结论，我们把导数进一步变形.

显然，乘号左边的部分为正号，我们只需要研究右边的部分.为便于研究，我们把这部分构造成新函数.

3

说明唯一零点的办法

我们预测原函数为单峰函数，那么F（x)在定义域上应该有唯一零点.

如何说明呢？

显然，解方程是不现实的.超越方程，还有参数，怎么可能解出来呢？

画图象也比较困难.

思来想去，我们决定采用“零点存在定理+单调性”的方法来证明.

用零点存在定理说明存在零点，用单调性说明唯一.

4

使用零点存在定理的要诀：合理选择区间

用零点存在定理时，首先要选一个区间，如何选取呢？

标准就是，怎么好算怎么来，怎么有利于判断符号就怎么来.

有了负值，还需要找一个正的函数值，通过观察和试探发现，x=2时的函数值符合要求.

所以，函数F(x)在区间（0,2）上有零点.

由第1问可知，F(x)为单调函数，故此零点为唯一零点.

5

解不出极值点的处理办法

到此，我们虽然不知道F（x）的零点是多少，但是我们能确定F（x）的零点是有的，而且只有一个，所以原函数g（x）为单峰函数.

因为函数g(x)只有一个极小值，所以这个极小值也是函数的最小值.

我们虽然求不出最小值的具体大小，但是我们可以对最小值的形式进行化简.

化简的条件就是：

6

谁表示谁？

现在，我们面临的问题是：到底用哪个变量表示另外一个变量？

题目给了我们一个暗示，什么暗示呢？

题目说：g(x)的最小值为h(a)，暗示我们要把最小值用含a的代数式来表示.

我们能办到吗？

操作起来非常困难，因为用a来表示x很难实现.

反过来，倒是用x表示a比较容易.

所以，要灵活一些，a与x是有相互依赖关系的，用x表示的最小值和用a表示的最小值是等价的.

当然，a与x的取值范围要换算过来.

为符合大家的认知习惯，我们还是构造关于x的函数.

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