物理课|《张朝阳的物理课》继续讨论热力学初谈熵概念( 二 )

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他提醒网友，假设热机A是可逆热机，若要利用反证法证明卡诺定理，就需要先假设其不成立，即ηA<ηB，那么有W'>W。为了说明此假设违反热力学第二定律，让热机A与热机B共用相同的高温热源T1与低温热源T2。由于A是可逆热机，而W'又比W大，于是可以用B所做的功W'的一部分推动A反向进行，这时候A向高温热源放出热量Q1，而因为B也从高温热源吸收热量Q1，于是这个过程中高温热源不变。再根据热力学第一定律，B给低温热源放出的热量是Q1-W'，A吸收低温热源的热量是Q1-W，于是整个过程相当于所有热机向低温热源吸收了Q1-W-(Q1-W')=W'-W>0的能量。而联合循环终了时，两热机的工作物质都恢复了原状，并且高温热源也没有变化，相当于热机从单一热源吸收W'-W>0的热量使之完全变成有用功而不引起其它变化，这违背了热力学第二定律的开尔文表述。所以最开始的假设ηA

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（利用热力学第二定律证明卡诺定理）
状态函数熵：从热机效率看宏观表达，从统计数目看微观意义
张朝阳进一步解释，假设前述的热机B同热机A一样也是可逆热机，那么根据卡诺定理可以得到ηA≤ηB，结合已经证明的ηA≥ηB，就可以得到ηA=ηB。“这说明，工作于两个一定温度的热源之间的可逆热机，其效率相等。”他提醒网友，“这同时也表明可逆热机的效率与具体的工作物质无关，那么效率只能由热源决定，而热源最基本的特征是温度，因此效率只是温度的函数。”假设热机从高温热源T1吸热Q1，给低温热源T2放热Q2，由热力学第一定律可知有用功为Q1-Q2，那么热机效率可以写成：

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而由于效率只是温度的函数，又可以得到：

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接下来，张朝阳以理想气体作为热机工作物质为例，推导f的形式。从他的推导可见，从高温热源T1吸热的过程为a到b，体积从Va膨胀到Vb，由热力学第二定律可知，一个微小的过程吸收的热量为 ?Q=dU+pdV，而上节课也知内能只是温度T1的函数，在这个等温过程中dU=0，那么理想气体从高温热源吸收的热量Q1为：

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理想气体与低温热源T2接触放出热量的过程为图中的c到d，体积从Vc减小到Vd，同理可以计算得到向低温热源放出的热量Q2为：

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另外，由于b到c以及d到a都是绝热膨胀，根据上节课推导的绝热方程可以得到：
将上述左边的等式除以右边的等式：

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再由abcd各点的理想气体状态方程可以得到：
那么联立上面的理想气体状态方程与绝热方程可以得到：

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利用此结论，最终可以确定Q2与Q1的比值与温度的关系为：

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（计算理想气体作为热机工作物质时的热机效率）
“由此可见，热机的效率，确实只与两个热源的温度有关，并且利用开尔文温度表示出来具有非常简单的比值形式。”张朝阳边说边将公式改写为：

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张朝阳根据此公式，引入熵的概念。他解释说，对于系统的任意一个准静态过程，选取其中某一微小过程，在这一微小过程中温度近似不变，设其为T，并在这个过程中它吸收了?Q的热量。我们可以引入一个辅助热源T'=1K与一个卡诺热机，此卡诺热机将系统看成热源，工作于系统与T'=1K的辅助热源之间，并且要求卡诺热机给温度为T的系统放出?Q的热量。设满足此条件的卡诺热机从辅助热源吸收了?Q'的热量，根据可逆热机效率与温度的关系可以得到?Q/T=?Q'/T'=?Q'/1K。对于其它微小过程同样也可以引入一个卡诺热机工作于系统与辅助热源之间。注意这里不同的卡诺热机工作于同一个T'=1K的辅助热源，这样积累成一个有限大过程之后，假设所有卡诺热机从辅助热源一共吸收了?Q'的热量，对应的系统的熵的变化可以定义为?S=?Q'/T'=?Q'/1K，由于辅助热源的温度为1K，其熵的变化数值上就等于这个辅助热源提供的总热量。若系统从状态a经过准静态过程到达状态b，用系统的温度与其吸收的热量来表示熵，熵还可以写为：

物理课|《张朝阳的物理课》继续讨论热力学 初谈熵概念( 二 )

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