热力学|从零推导出理想气体定律，一项浩大的工程，涉及数理化三个领域( 四 ) fx

我们对x进行积分，所以我们可以在不改变积分值的情况下随意称呼它们。左半部分有一个平方的和，而右半部分是一个已知值。
为了使用这个方程，我们需要做一些说明，并想出一些定义。首先，注意积分是在n维的空间上。我们将使用一些东西来表示独立于坐标表达的区域。其次，注意所有dx的组合是n维的体积元素，即dVn 。最后，我们可以利用平方之和等于r^2的事实。作为一个简单的总结：
把它放在一起，我们可以得到：
求解vn
现在，我们将使用dVn和dr之间的关系：
将其代入积分并设定适当的边界条件（r=0到r=∞），我们就可以得到：
现在，我们做一点代数和微积分的计算：
我们让u = r^2进行u置换，然后我们意识到伽马函数的定义，即n的解析延拓。你可以把伽马函数看作是用一条平滑的曲线连接n！的所有值。具体来说：
你可以用归纳法和部分积分法来证明。
请注意，斯特林近似法不仅适用于伽玛函数，也适用于阶乘。我们将在后面利用这一结果。如果我们求出vn ，那么我们可以得到体积和表面积。
代入n = 2 ，就得到了圆的周长和面积。然后代入n = 3 ，就得到了球面的表面积和体积。
代入半径和维数的具体值，就得到了：
双重计数假设我们现在有两个粒子。每个粒子都有一个特定的动量和位置。假设我们把这两个粒子换一下，使第一个粒子具有第二个粒子的位置和动量，反之亦然。这两种情况描述的是同一个微观状态，这意味着我们必须除以2 。有了更多的粒子，任何排列组合都会描述相同的微观状态。我们必须用多重性除以排列组合的数量，即N！以避免多次计算同一微观状态。如果我们不考虑无法区分的粒子，我们就会违反热力学第二定律。
单原子理想气体的多重性
综上所述，我们有：
我做了两个简化。首先，前面的2给熵增加了一个我们可以忽略的小常数。第二，我把2mU的平方根的幂增加了1 。你可以把这想象成通过乘以一个小的厚度将表面积转换为体积。如果你想知道为什么这些近似值有效，就不要做这些近似值，看看这些值之间的差别（N是10^23的数量级）。除此以外，我还清理了表达式。
单原子理想气体的熵
现在我们有了理想气体的多重性，我们可以用它来求熵：
我们通过代入N个粒子的多重性，从第一行到第二行。然后，我们用对数规则分解乘积。然后，我们应用斯特林近似法，所以我们最后得到的是N ln N - N ，而不是ln N！。由于Γ(n)=(n-1)！，我们也可以使用斯特林的近似值。我们可以忽略斯特林的伽马函数近似中的-1 ，因为n>>1 。然后，我们将N分解，加上3/2和1得到5/2 ，将前面有3/2的两个项带入一个对数，再将剩下的两个对数合并。对于最后一行，我们将所有的对数合并为一个对数。我们得出了理想气体的熵的萨库尔-特德罗方程。现在，我们已经非常接近理想气体定律，但我们还需要做一些工作，把压力和温度纳入我们的数学。
热力学第一定律现在，我们有了萨库尔-特罗德方程式（ the Sackur-Tetrode Equation），我们可以使用热力学第一定律来推导出理想气体定律。目前，热力学第一定律对我们帮助还不是很大，所以我们必须用温度、熵、压力和体积来重写它。首先，我们将用差分的方式重写两边的内容：
其中dU是一个精确微分， \uD835\uDEFFQ和\uD835\uDEFFW都是非精确微分。
精确微分和非精确微分
精确微分的积分只取决于其端点（又称路径独立），而非精确微分则取决于如何从一个端点到另一个端点。举个例子，重力势能是一个精确微分。如果你举起一个物体，你就增加了它的势能。如果你把它放回原处，你就把它的势能减少到原来的值。另一方面，你在举起重物和放下重物时都失去了能量。因此，功必须是一个不精确的微分。
熵和温度方面的热量
鉴于熵的定义：
从压力和体积的角度看功
功取决于力和距离，所以我们需要从压力和体积中获得力和距离。通过查看单位，我们可以得到一个相当好的猜测。压力是[力
/[距离
^2 ，体积是[距离
^3 。我们要的是[力
乘以[距离
。如果我们把压力和体积相乘，我们会得到正确的单位。我们怎么知道它们的乘积是功呢？
考虑一个活塞。