数学|2021年高考乙卷数学压轴题，圆锥曲线与导数综合题，学霸也头疼学霸

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2021年高考出现一个重大变化，那就是将原全国一卷和二卷合为全国乙卷，而原全国三卷改为全国甲卷。今年高考中，使用全国乙卷的省份包括河南、山西、陕西、黑龙江、吉林、安徽、江西、甘肃、青海、内蒙古、宁夏、新疆。
6月7日下午数学考完后，不管是全国甲卷还是乙卷的考生均表示今年数学题偏难，一些题目的难度甚至超过了平时的练习题。
本文就和大家分享一下今年高考全国乙卷的数学压轴题。这道题综合考查了圆锥曲线和导数的相关知识，难度还是很大的，不少学霸看了也觉得头疼。
先看第一问：求p的值。
先算出抛物线x^2=2py的焦点坐标，即F(0p/2) 。
明显地，点F在圆M的外部，那么点F到圆M上点的最小距离就应该是点F到圆心M的距离|FM|在减去圆的半径。
圆心M的坐标为(0-4) ，所以|FM|=p/2+4 ，则最小距离为p/2+4-1=4 ，解得p=2 。
再看第二问：求△PAB面积的最大值。
要求面积的最大值，那么需要先求出面积的表达式。由于AB是抛物线的弦，因此可以考虑用弦长公式求出弦AB ，再算出点P到直线AB的距离，两个相乘除以2就是三角形的面积。
不管是求弦长AB还是点P到直线AB的距离都需要先求出直线AB的方程，因此求直线AB的方程就成了解题的关键。
那么怎么求直线AB的方程呢？
一些同学利用圆锥曲线切点弦的二级结论可以直接写出直线AB的方程。过圆锥曲线外一点P(x0y0)作圆锥曲线的两条切线，那么过两切点的直线方程只需将圆锥曲线方程中x、y的一半替换成x0、y0即可。如本题中直线AB的方程为：x0·x-2y-2y0=0 。
不过教材中没有切点弦的二级结论，所以在解答题中并不能直接使用，还需要用其他方法求解。
因为A、B为切点，所以分别过A、B两点的切线的斜率就是该点的导数值，然后就可以用点斜式方程分别表示出直线PA、PB的方程。又因为点P在直线PA、PB上，所以点P的横纵坐标都满足PA、PB的方程，比较两个方程就可以得到直线AB的方程。
接下来将直线AB的方程与抛物线方程联立，消去y ，就得到关于x的一元二次方程方程，然后结合韦达定理和弦长公式就可以求出弦AB的长。然后再用点到直线的距离公式求出点P到直线AB的距离，两个相乘的一半就是三角形的面积了。
又点P在圆M上，所以根据点P横纵坐标的范围从而求出面积的最大值。
求直线AB方程的方法，除了上面方法还可以用点差法及直线与圆锥曲线的位置关系求解。
先用点差法用A、B点的坐标表示出直线AB的斜率，再用点斜式表示出直线AB的方程。
显然，过点P的抛物线的切线斜率存在，那么用点斜式设出直线方程，再与抛物线方程联立消去y 。由于相切，那么判别式△=0 ，这样就求出了直线PA、PB的斜率，从而先到三个点坐标间的关系，代入前面得到的直线AB的方程，化简后即可得到AB的方程。后面的解题过程同上面。
【数学|2021年高考乙卷数学压轴题，圆锥曲线与导数综合题，学霸也头疼】这道压轴题第一问很简单，第二问难度比较大。但是对于一般考生来说，并没有要求做完所有的题，而是要将简单题做对，这样的分数也不会太低。