真·降维打击:SIGGRAPH 2020论文帮你想象三维生物眼里的四维空间

机器之心报道
参与：张倩、小舟、蛋酱
四维空间是什么样子？里面的物体如何运动？一篇 SIGGRAPH 2020 论文帮我们 “想象” 出了这个过程，看完论文，你还可以上手试试游戏。

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四维空间是什么？三个空间维度加一个时间维度？不，那是四维时空，跟四维空间是两个不同的概念。
四维空间的第四个维度也是空间维度，和我们熟知的 x、y、z 属于同一性质。
作为一个三维世界的生物，人类是很难想象出四维空间的，就像一个困在二维空间里的人无法想象三维空间一样。

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对于这个二维世界的小人来说，一个三维世界的物体是神秘莫测的，它会时而变换形态，时而消失，因为该物体转换了角度或移动到了第三个维度。所以，对于一个没有上帝视角的二维世界小人来说，预测三维物体的移动轨迹、形状变化着实有点困难，因为他只能看到一条条变幻莫测的线。

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同理，在一个四维空间里，我们就变成了那个可怜的小人，眼前的四维物体似乎和三维物体没什么两样，但当它们在四维空间自由移动、碰撞时，我们也会发现它们时而变换形态，时而消失不见。

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这种情景我们通常只会想象一下，毕竟在现实生活中是体验不到的。但也有人对此兴味盎然，将其搬到了游戏世界中，甚至还凭借游戏的论文中了计算机图形学顶会 SIGGRAPH 。

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在这篇论文中，研究者提出了一个适用于任何空间维度的刚体动力学公式。用几何代数来描述刚体的状态和运动方程。他将碰撞检测算法扩展到维，解析了物体之间的碰撞和接触。虽然作者实现的是四维，但该方法可以扩展到任意维度。他通过这些四维刚体的三维截面来展示他们，用户可以实时操纵这些物体。
不同于常见的研究，这篇 6 页的论文充满了各式各样的几何代数公式。在双盲审稿过程中，一位审稿人对该论文的评价是：「异想天开（whimsical）」。
大部分研究工作都是从 2012 年开始的，但作者也根据审稿人的建议增加了关于神秘翻转（Dzhanibekov effect）的部分。
【真·降维打击:SIGGRAPH 2020论文帮你想象三维生物眼里的四维空间】在此之前，物理模拟一直集中并局限于二维和三维的情况。但作者提出，使用所需方程式的恰当公式，就有可能将它们推广到更高维度。几何代数提供了一个简单的与维度无关的公式，可以实时操作相互碰撞的 n 维物体，就好像它们是真实的物体一样。这使得这些高维物体不那么抽象，和大多数人对它们的体验形成鲜明对比。
这篇论文的贡献在于：
1、将基于几何代数的经典三维刚体动力学公式推广到了 n 维。通过将几何代数算子表示为矩阵，以一种简单的方式构建、对角化（diagonalize）、转换任意 n 维简单网格，无论这个 n 是多少。这样一来，就可以在 n 维中建立欧拉方程，比如研究四维欧拉方程在无力矩条件下的情况。
2、计算 n 维中的碰撞和接触处理过程，包括静摩擦和动摩擦。作者给出了 Minkowski 差分法和基于几何代数的分离轴定理碰撞检测方法的 n 维公式。
3、提出了一种类似于我们对现实三维空间体验的四维物体互动方法。