单精度浮点数 float：32 位，符号位 S 占 1 bit，指数 E 占 8 bit，尾数 M 占 23 bit

双精度浮点数 float：64 位，符号位 S 占 1 bit，指数 E 占 11 bit，尾数 M 占 52 bit

为了使其表示的数字范围、精度最大化，浮点数标准还对指数和尾数进行了规定：

1. 尾数 M 的第一位总是 1（因为 1 <= M < 2），因此这个 1 可以省略不写，它是个隐藏位，这样单精度 23 位尾数可以表示了 24 位有效数字，双精度 52 位尾数可以表示 53 位有效数字
2. 指数 E 是个无符号整数，表示 float 时，一共占 8 bit，所以它的取值范围为 0 ~ 255 。但因为指数可以是负的，所以规定在存入 E 时在它原本的值加上一个中间数 127，这样 E 的取值范围为 -127 ~ 128 。表示 double 时，一共占 11 bit，存入 E 时加上中间数 1023，这样取值范围为 -1023 ~ 1024 。

除了规定尾数和指数位，还做了以下规定：

指数 E 非全 0 且非全 1：规格化数字，按上面的规则正常计算

指数 E 全 0，尾数非 0：非规格化数，尾数隐藏位不再是 1，而是 0(M = 0.xxxxx)，这样可以表示 0 和很小的数

指数 E 全 1，尾数全 0：正无穷大/负无穷大（正负取决于 S 符号位）

指数 E 全 1，尾数非 0：NaN(Not a Number)

文章插图
标准浮点数的表示有了这个统一的浮点数标准，我们再把 25.125 转换为标准的 float 浮点数：

1. 整数部分：25(D) = 11001(B)
2. 小数部分：0.125(D) = 0.001(B)
3. 用二进制科学计数法表示：25.125(D) = 11001.001(B) = 1.1001001 * 2^4(B)

所以 S = 0，尾数 M = 1.001001 = 001001(去掉1，隐藏位)，指数 E = 4 + 127(中间数) = 135(D) = 10000111(B) 。填充到 32 bit 中，如下：

文章插图
这就是标准 32 位浮点数的结果 。
如果用 double 表示，和这个规则类似，指数位 E 用 11 bit 填充，尾数位 M 用 52 bit 填充即可 。
浮点数为什么有精度损失？我们再来看一下，平时经常听到的浮点数会有精度损失的情况是怎么回事？
如果我们现在想用浮点数表示 0.2，它的结果会是多少呢？
0.2 转换为二进制数的过程为，不断乘以 2，直到不存在小数为止，在这个计算过程中，得到的整数部分从上到下排列就是二进制的结果 。
0.2 * 2 = 0.4 -> 00.4 * 2 = 0.8 -> 00.8 * 2 = 1.6 -> 10.6 * 2 = 1.2 -> 10.2 * 2 = 0.4 -> 0（发生循环）...
所以 0.2(D) = 0.00110...(B) 。
因为十进制的 0.2 无法精确转换成二进制小数，而计算机在表示一个数字时，宽度是有限的，无限循环的小数存储在计算机时，只能被截断，所以就会导致小数精度发生损失的情况 。
浮点数的范围和精度有多大？最后，我们再来看一下，用浮点数表示一个数字，其范围和精度能有多大？
以单精度浮点数 float 为例，它能表示的最大二进制数为 +1.1.11111...1 * 2^127（小数点后23个1），而二进制 1.11111...1 ≈ 2，所以 float 能表示的最大数为 2^128 = 3.4 * 10^38，即 float 的表示范围为：-3.4 * 10^38 ~ 3.4 * 10 ^38 。
它能表示的精度有多小呢？
float 能表示的最小二进制数为 0.0000....1（小数点后22个0，1个1），用十进制数表示就是 1/2^23 。
用同样的方法可以算出，double 能表示的最大二进制数为 +1.111...111（小数点后52个1） * 2^1023 ≈ 2^1024 = 1.79 * 10^308，所以 double 能表示范围为：-1.79 * 10^308 ~ +1.79 * 10^308 。
double 的最小精度为：0.0000...1(51个0，1个1)，用十进制表示就是 1/2^52 。
从这里可以看出，虽然浮点数的范围和精度也有限，但其范围和精度都已非常之大，所以在计算机中，对于小数的表示我们通常会使用浮点数来存储 。
总结这篇文章我们主要讲了数字的浮点数表示方式，总结如下：

1. 浮点数一般用科学计数法表示
2. 把科学计数法中的变量，填充到固定 bit 中，即是浮点数的结果
3. 在浮点数提出的早期，各个计算机厂商各自制定自己的浮点数规则，导致不同厂商对于同一个数字的浮点数表示各不相同，在计算时还需要先进行转换才能进行计算
4. 后来 IEEE 组织提出了浮点数的标准，统一了浮点数的格式，并规定了单精度浮点数 float 和双精度浮点数 double，从此以后各个计算机厂商统一了浮点数的格式，一直延续至今
5. 浮点数在表示小数时，由于十进制小数在转换为二进制时，存在无法精确转换的情况，而在固定 bit 的计算机中存储时会被截断，所以浮点数表示小数可能存在精度损失
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