#走近前沿科学TB#量子纠缠：从量子物质态到深度学习( 四 )

3. 深度学习助力量子物理
从函数近似的观点看，深度学习和量子物理之间的联系非常显然。即便在上一次连结主义学派研究的低潮期，也曾有过一些使用人工神经网络作为量子体系的变分波函数的尝试。最近， Carleo 和Troyer尝试使用限制玻尔兹曼机作为量子自旋体系的多体变分波函数，得到了非常精确的基态能量和非平衡动力学的结果。值得注意的是，传统的限制玻尔兹曼机只能表达取值为正的概率分布函数，为了让它们适合于描述带有相位信息的波函数， Carleo 等将限制玻尔兹曼机的参数推广到复数域。另外，实际计算中Carleo 等采用的函数形式其实是多个共享权重的限制玻尔兹曼机的乘积。这样的结构等价于一个单隐层的卷积神经网络，从而在结构上保证了物理体系的空间平移不变性。 Carleo 和Troyer 的结果激起了人们极大的兴趣，沿着这个思路往下：类似的人工神经网络还能够描述其他丰富多彩的物质态吗?
对于这个问题，邓东灵、李晓鹏和Das Sarma给出了一个构造性的回答。他们举例说明限制玻尔兹曼机的函数形式可以表达几种受到普遍关注的拓扑态。而蔡子直接训练图1(a)所示的前馈神经网络以测试它们能否学会表达一些典型的玻色子、费米子、阻挫磁性态的波函数。这些尝试进一步展示了人工神经网络作为量子多体波函数的潜力。可是，是否有更一般的理论定量地描述这类人工神经网络变分波函数的优势和局限性呢?为了回答这些问题，邓东灵等人研究了限制玻尔兹曼机的纠缠表达能力。他们发现稠密连接的限制玻尔兹曼机原则上能够承载超越面积定律的量子纠缠。本文作者与谢海东、向涛利用等价变换的思路，在玻尔兹曼机和张量网络态之间建立起了一座桥梁。这样就可以通过分析对应的张量网络态来回答前面关于玻尔兹曼机的种种问题。我们发现恢复平移不变的波函数构造是Carleo 等计算成功的一个关键点，这样的构造在不增加变分参数的情况下巧妙地增加了变分波函数表达能力的上限。郜勋和段路明则从计算复杂性理论的角度分析论证了限制玻尔兹曼机的局限性，并指出深层的玻尔兹曼机可以高效地描述几乎所有已知的量子态。他们的工作表明纠缠熵并非刻画表达能力的唯一标准。还需要注意的是，更强的表达能力并不意味着在实际计算中能够找得到更好的函数近似。另外，黄溢辰和Moore也研究了玻尔兹曼机在量子多体问题中的表达能力。以上这些理论发现，为设计更经济高效的量子多体试探波函数提供了方向性指引。深度学习的领军人物Yann LeCun也注意到了这一系列来自物理学领域的工作。他在Facebook 上分享了自己对于量子纠缠、黑洞熵以及张量网络态的理解，并在最后总结道：“迷人的联系” 。
4. 量子纠缠指引深度学习
上述这些工作的研究思路是使用神经网络近似量子多体波函数。有趣的是，使用逆向思维，量子多体物理也能够帮助回答一些关于深度学习的问题。比如，我们可以从量子纠缠的视角来说明深度学习中的深度为什么重要。考虑图2 中所示的两个玻尔兹曼机，它们的隐层神经元个数和权重参数个数都完全相等。不同之处在于图2(a)的隐层神经元呈浅层扁平化排列，而在图2(b)中隐层神经元沿纵深方向排列成了层级结构。

本文插图
图2
图2两个不同架构，但参数个数相等的玻尔兹曼机(a)限制玻尔兹曼机;(b)深层玻尔兹曼机。红色虚线框中的神经元承载了网络左右部分的纠缠。一旦去除它们，网络就分成了独立的两部分
为了分析比较图2 中两种网络表达能力的优劣，我们按照文献的思路将它们分别转化成矩阵乘积态。由于是等价转换，相应的矩阵乘积态的虚拟键维数限定了原来的玻尔兹曼机承载纠缠能力的上限。而根据文献，要估计对应的虚拟键维数，只需要检查在玻尔兹曼机中去除多少个神经元就可以将网络从两侧断开。如图2 中虚线方框所示，深层玻尔兹曼机所对应的虚拟键维数更大，从而能够比浅层的玻尔兹曼机负载更大的纠缠。以上的分析仅依赖于玻尔兹曼机的结构而不涉及到任何权重的数值信息。通过这样的分析，我们从量子纠缠的角度说明了深层结构的重要性：深层玻尔兹曼机在拥有同样参数个数的情况下具有相对更强的表达能力上限。这里，张量网络态不仅仅是一个分析手段。作为一个副产品，我们也理解了它与玻尔兹曼机在函数近似上的各自优缺点。比如，为了表达同样的量子态，玻尔兹曼机所用的参数个数可以比张量网络态少得多。然而，对于某些特定状态使用限制玻尔兹曼机表达却不如张量网络态方便。