塔斯基和无限复制悖论( 二 ) _小知识

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无穷大的本质使这种看似增加的可能性成为可能。将整个东组往西旋转会清除所有的东旋转。那么剩下什么呢？
在最后的东边之前没有西边结束的路径，因为不允许回溯。但是有无穷多东边结束的路径最终回到东边（没有规则禁止将东-东作为最后两个旋转）。有无穷多路径在北边、南边结束。仅仅通过整个东组向西旋转，我们就将其变成了一个包含了东、北和南点的组。现在所有的起点也都在那里（因为每条仅回到东边一次的路径现在都回到了它的原点）。
这里，我们已经复制了六组中的三组（北、南和起点）中的所有点。接下来，我们只需要复制其他三个组（东、西和两极/中心）。前两个很简单：将北组向南旋转，获得所有北、东和西点。

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最后，我们需要复制极点和中心点。这是通过类似于另一个与无穷相关的论证的过程发生的，称为希尔伯特的旅馆，由大卫·希尔伯特于 1924 年设计，同年巴拿赫和塔斯基提出了他们的悖论。
在这个思想实验中，想象一家拥有无限数量房间的酒店。假设只有 43 号房间是空的。将 44及以上房号房间的每位客人都移到这个房间。你已经填补了空房间，而没有创建一个新房间（因为当你将无限位客人转移到一个房间时，总会有一位客人取代你刚搬走的客人）。

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现在将缺失的一组极点想象为在复制的球体上不同纬度线上的空缺的点。将每条纬度线上的所有点平移，无穷大填补空缺。

一张图解释了如何使用希尔伯特旅馆的论点来填充圆上的空点。

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空点存在于另一个可以用相同方式填充的圆上。结果，瞧！我们已经复制了所有六个组。我们现在可以每六组组合成各自的球体。
结果感觉不可能。你怎么能仅仅通过分解和重新排列一个物体的体积就加倍？一种解释是 Banach-Tarski 减轻了不可数的负担。用顺序旋转分解球体，就像数自然数一样，创建一个更易于管理的工作空间——比困扰初始球体的不可数的无穷大更易于管理。
这个悖论有批评者。有些人认为这是一个荒谬的结论，它指出了支持它的数学推理规则中的一个缺陷。
“这就像一个风向标，”澳大利亚悉尼新南威尔士大学最近退休的数学教授诺曼·怀尔德伯格（Norman Wildberger）说。“这就像一面巨大的红旗。”
使巴拿赫-塔斯基悖论成为可能的数学规则称为选择公理。它是称为策梅洛-弗兰克尔（Zermelo-Fraenkel）集合论 (ZFC) 的系统中的九个公理之一，它是现代数学的基础。
在 ZFC 的历史发展中，选择公理有时被视为其他八项公理的补充——这种状态使得它在实现像 Banach-Tarski 悖论这样的结果时容易受到批评。选择公理赋予数学家从集合的每个容器中“选择”一个东西的能力，即使该集合是无限的。这使得 Banach-Tarski 成为处理无穷大的罗夏测试：许多人认为这个悖论很奇妙；像维尔德伯格这样的评论家畏缩不前。
但大多数数学家并不会因为选择公理而失眠。他们将巴拿赫-塔斯基悖论视为数学丰富性的证明。它提供了一个合规的例子，说明数学如何偏离物理直觉而不自相矛盾。
【塔斯基和无限复制悖论】“几乎任何东西都可以复制——可以分解成两个基数相同的东西，”Sinapova 说。