直线点斜式的推导直线方程点斜式推导 _小知识

牛顿377、直线点斜式，直线点斜式的推导

点斜式（百度百科）：点斜式是指一种算式，已知直线上一点（a，b）并且存在直线的斜率k，则直线可表示为y-b=k（x-a）。

文章插图
定义
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
（…《欧几里得》：小说名…）

【直线点斜式的推导直线方程点斜式推导】（a，b）在平面直角坐标系中，如果直线L经过点A （x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2，那么AB=（x2-x1，y2-y1）是L的一个方向向量，于是直线L的斜率k=（y2-y1）/（x2-x1）。

文章插图

文章插图

方程y-b=k（x-a）叫做直线的点斜式方程，其中（a，b）是直线上一点。

注：k=（y2-y1）/（x2-x1）（y2≠y1，x2≠x1）
当直线与x轴垂直时，k不存在，直线可表示为x=x1
当直线与y轴垂直时，k=0，直线可表示为y=y1

文章插图

文章插图
应用
…应、用、应用：见《欧几里得181》…

1、点斜式普遍用于导数当中。
…导、数、导数：见《牛顿288~294》…

用已知切线上一点和曲线导数（曲线上某点切线的斜率）求切线方程时用。
…切、线、切线：见《牛顿288》…
…斜、率、斜率：见《牛顿289》…
…方、程、方程：见《伽利略53》…
（…《伽利略》：小说名…）

2、适用于知道一个点的坐标和直线斜率，求直线方程的题目。

推导
…推、导、推导：见《欧几里得7》…

若直线L经过点P1（x1，y1），且斜率为k，求L的方程。

解：设点P（x，y）是直线上不同于点P1的任意一点。
∵ 直线PP1的斜率=直线L的斜率
∴ 根据经过两点的直线斜率公式k=（y2-y1）/（x2-x1），得
k=（y-y1）/（x-x1）

∴ 直线L的方程为：y-y1=k（x-x1）

文章插图

说明：
（1）这个方程是由直线上一点和斜率确定的，这一点必须在直线上，否则点斜式方程不成立；
（2）当直线L的倾斜角为0°时，直线方程为y=y1；
（3）当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示，这时直线方程为x=x1 。

方程用途

在求曲线切线方程中，一般会告诉切点和曲线方程。这时利用导数公式可求出切线斜率k，利用点斜式可以表示此直线方程。

文章插图

文章插图
另外，有时题目会告诉曲线外一点（a，b）和曲线方程，这时只需设切点坐标A（x，y），利用导数公式求出导数（即切线斜率）的表达式M，再使（y-b）/（x-a）=M，即可求出切点A的坐标。
利用点斜式可将方程表示出来。

文章插图

文章插图
“直线的斜截式方程：y=kx+b，其中k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。该方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。
请看下集《牛顿378、直线斜截式，直线斜截式的推导》”

若不知晓历史，便看不清未来
欢迎关注头条号“人性的游戏”

直线点斜式的推导 直线方程点斜式推导

直线点斜式的推导直线方程点斜式推导