不变性与高阶范畴不变性原则( 二 ) _小知识

尽管范畴论已经渗透到了现代数学中的各个分支，但在本科的数学教学或某些更加古老的数学研究分支中，还是很少采用范畴论的语言。其中一个很大的原因是，在这些领域内，其关心的问题中所涉及到有关同构的不变性都很简单，或者很显然，因此在这种情况下，是否采用范畴论的语言变得不那么紧迫。但随着现代数学的发展，当我们考虑的数学不变量更加复杂，采用范畴论的语言就显得更为重要。最为关键的是，现代数学不仅仅关心同构不变意义下的不变量了。对于许多的数学构造，如之前提到的拓扑空间的代数不变量，是对于一些更弱的等价概念不变的。例如在同伦论的语境下，数学家希望得到的是一种“同伦不变” [homotopy coherent] 的数学叙述方式。此时数学家发现，继续采用集合论的语言甚至变得根本不可能了，因为这种等价性的叙述涉及到了许多范畴的高阶性质——我们将在下一节更加详细地阐述这一点。数学在这个方向的进展，使得许多原本曾经认为范畴语言是“abstract nonsense”的数学家现在也开始不得不采用（高阶）范畴的语言。

弱等价与高阶范畴

之前我们提到了，随着数学的发展，许多我们关心的数学对象的性质并不只是在同构的意义下是不变的，而是对于一类更弱的等价性不变，这使得我们会研究这一类弱等价的性质。在这一节中，我们会更加详细地谈谈弱等价与高阶范畴之间的联系。
我们以范畴之间的等价性为例。对于知晓一定范畴论的读者想必都会知道，对于两个范畴和，同构并不是它们间最自然的等价概念，而应该考虑的是范畴等价 [categorical equivalence] 的概念。按照我们之前的观点，等价的概念总是与一个范畴紧密联系的。我们便来详细地探讨一下所有范畴之间构成了一个怎样的范畴。

此处稍微离题一些。对于那些对数学基础 [foundation of mathematics] 较为敏感的读者而言， “所有范畴构成的范畴”这个短语可能是不严谨的，因为这样不加限制的全称量词可能会导致和罗素悖论相似的问题。在范畴论的文献中，解决这个问题的办法一般是引入一个“小”和“大”的相对概念。例如，我们说一个范畴是“小”的，当且仅当的物体和态射构成一个集合；若它们不是一个集合而是一个类 [class] ，则我们称其为一个“大”的范畴。当然，这个分类还可以继续，有“小”“大”“更大”等等。当我们说所有范畴构成的范畴时，可以理解为我们指称的对象是那个所有“小”的范畴构成的“大”范畴。由于一般使用范畴论语言的人都不太关心数学基础的问题，在之后的讨论中我们并不会如此严格地区分“小”和“大”的概念。

文章插图

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为什么我们要考虑2阶范畴中这种更弱的等价关系呢？这是因为，在2阶范畴的语境下，所有自然的数学构造都关于等价是不变的，而不只是同构。正如在1阶范畴的语境下，所有泛性质 [universal property] 构造都是在同构的意义下定义的，在2阶范畴的语境下，所有对应的（2阶）泛性质构造都是在这种更弱的等价的意义下定义的；换句话说，在2阶范畴中等价的物体对于我们关心的性质而言是没有区别的。以范畴为例，等价的范畴几乎会保持所有我们关心的性质，如极限和余极限的完备性等等。因此，在这个语境下，这种更弱的等价才是我们应该考虑的自然的等价定义。
上面的讨论说明，范畴中的高阶结构会自然对应着某种更弱，但在高阶范畴的语境下更自然的等价定义：我们不再要求两个态射复合后为恒等映射，而是要求复合后的映射和恒等映射之间存在着某种高阶的同构。这个一般的陈述不仅仅适用于2阶范畴，它更广泛地适用于所有n阶范畴 [n-category]、甚至是无穷范畴 [∞-category] 。甚至在高阶范畴中，一切概念都应该在这种“高阶同构”的意义下来理解。例如，态射的复合将不是严格定义的，而是在相融的高阶同构 [coherent higher isomorphism] 的含义下定义的。这样的高阶结构，对于现代许多以同伦论为基础的数学来说是非常重要的。

不变性与高阶范畴 不变性原则( 二 )

不变性与高阶范畴不变性原则( 二 )