爪型行列式到底是什么异爪形行列式是什么 _小知识

所谓爪型行列式，指的是一类看起来像爪子一样的行列式。一般指除了第一行和第一列以及对角线之外，其它元素都是0的行列式。这类行列式应该怎么求它的值呢？接下来我们由一些特殊的例子入手，来分析它的解法。

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最典型的爪型行列式，是对角线上的元素相同，除了第一个元素之外，第一行和第一列的其它元素也都相同的形式，比如n阶行列式：
D=|x,a,a,…a; a,x,0,…,0; a,0,x,…,0；…, …, …, …；a,0,0,…,x|，x不等于0，元素间用逗号分隔，行与行之间用分号分隔，下同。

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【爪型行列式到底是什么异爪形行列式是什么】首先，将其它列都乘以-a/x，并全部加到第1列，就得到：
D=|x-(n-1)a^2/x,a,a,…a; 0,x,0,…,0; 0,0,x,…,0；…, …, …, …；0,0,0,…,x|.
这是一个上三角行列式，它的值等于对角线上所有元素的积，因此，
D=x^(n-1) (x-(n-1)a^2/x)=x^n-(n-1)a^2x^(n-2).

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假如第一行除了第一个元素之外其它元素都是b，则结果为：D=x^n-(n-1)abx^(n-2). 由此我们可以知道，对于一般的n阶爪型行列式：
D=|x1,b1,b2,…b_(n-1); a1,x2,0,…,0; a2,0,x3,…,0；…, …, …, …；a_(n-1),0,0,…,xn|，其中xj不等于0，j=1,2,…,n. 它的解法是将第一列除了第一个元素之外所有的元素化为0，从而将行列式化为上三角行列式，则它的对角线上所有的元素的积，就是行列式的值。

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具体的方法是除了第一列之外，第j列乘以-a_(j-1)/xj, j=2,3,…,n，都加到第一列，得到：
D=|x1-求和(j=2->n)a_(j-1)b_(j-1)/xj,b1,b2,…b_(n-1); 0,x,0,…,0; 0,0,x,…,0；…, …, …, …；0,0,0,…,xn|=(x1-求和(j=2->n)a_(j-1)b_(j-1)/xj)求积(k=2->n)xk.

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最后来看一道真题，作为一个实例结束这个类型的行列式的探究。求n阶(爪型)行列式：D=|1,2,3,…n; 2,1,0,…,0; 3,0,1,…,0；…, …, …, …；n,0,0,…,1|.

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这个行列式的第一行是正整数列，第二行也是正整数列，对角线上的元素都是1. 我们可以代入上面推出来的公式，直接得到答案：D=(1-求和(j=2->n)j^2? 。其中正整数的平方数列前n项和的公式是n(n+1)(2n+1)/6，因此，D=2-n(n+1)(2n+1)/6.
当然，这里探究的是最典型的爪型行列式，如果对它进行变形，每改变一点，结果都可能会发生非常大的变化，因此学习还是要有探究的精神，靠推导公式就想解决一切同类问题，显然是不科学的。

爪型行列式到底是什么 异爪形行列式是什么

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