雷人集锦：什么是傅立叶变换？( 二 ) 傅立叶变换学了有些年头

信号传播在时间里，但是能谱却从能量（频率）来记录，就是一种傅立叶变换。
4.傅立叶变换的数学形式
对于信号F(t) ，我们有
信号F(t)在时间里产生，却通过G(ω)的分析得到。我们无法做到每一时刻都去做测量，但是我们把所有时间都测过之后，原来的时间信息就还原了。这里的相位因子是复数，这是因为我们不只对钢琴弦振动有兴趣，还有量子现象。关于虚数i很难讲很多，因为我个人除了知道它的平方等于-1 ，什么也不知道。
5.坐标—动量空间
更进一步的例子，除了时间—频率分析之外，波矢k与坐标r量纲互逆，也有傅立叶变换关系。这里用量子力学来做例子。
产生一个动量为k的粒子需要产生一个算子，而产生一个位置处于r处的粒子需要它们之间为傅立叶变换关系：
这是一件很不可思议的事情！只看第二式。我们通过产生一定动量的粒子，唯一的信息就是知道粒子的动量。怎么可能知道它的坐标在哪里！
实际上，我们将要知道的并非“该粒子”的坐标。我们已经有的也并非产生了“一定动量”的粒子，而是产生了所有动量的粒子：注意已经对k积分。同样的事情发生在第一式。如下图。
假设坐标空间里，粒子被产生，所有位置都产生一个粒子。但是这些粒子并不是孤立产生的，它们之间相差一个相位。假设都按照均匀的相位差产生，某段空间间隔之后，产生的粒子又周期性的在同一状态。在r处的粒子，和在r'处的粒子态，仅由于空间不同，相差的相位为exp(ik(r-r')) 。这并不神秘。联想杨氏双缝干涉实验，从两个不同的孔射出的光，由于孔位置不同，两束光本身就有相位差。回到粒子态来，假设粒子A产生于rA ， B产生于rB ， A'产生于rA',B'产生于rB' ，当rA-rB=rA'-rB'成立时，如果AB的相位差与A'B'的相位差相等，而且对全空间所有的点A、B都成立，则我们就定义了一个均匀的波数（动量）。
6.结语
在散射谱学里，就是傅立叶变换的另一个例子。比如非弹性X-光散射，测量的光子活在时间和空间里，但是测量却很自然的做了两次傅立叶变换，使得测量的是动量q和能量w转移。均匀介质不发生散射，散射是由于非均匀性才导致的。大的不均匀就导致大的散射强度，比如均匀的水，清澈无比的透光，天上的云密度不均匀就发生散射。散射强度I∝n(q,w)n(-q,w)> ， n为密度。注意这里的关联函数，仍旧是活在做过傅立叶变换的动量－能量空间里。
【雷人集锦：什么是傅立叶变换？】Discussion
Q：“我们无法做到每一时刻都去做测量，但是我们把所有时间都测过之后，原来的时间信息就还原了。 ”一个多道放在那里测量一年，如何根据能谱能够反推出这一年来的宇宙射线随时间变化？假定一月份过来的光子和二月份的对换，多道测得的能谱又不会变化。
A：timeresolved是时间分辨，假设我们放着多道一年不管它，测量就是对一年积分；但是如果每个月看一次，就把时间分辨率变成了每个月了！为了得到1年的能谱，可以把每个月相加，但是单单从一年的能谱里，我们却没有每个月的时间信息。 timeresolve是很重要的谱学，比如即使用高纯Ge测量1小时的数据量，做实验的时候也会把它分成60个1分钟来做，这样比如第37分钟来了外界噪声，仪器发疯，我们就能从这段时间的谱来看出，然后把这个剔除掉。对于稳定源，如果能谱不随时间变化（每分钟都一样），我们就知道仪器没发疯，没有噪声，因此进一步知道测量可靠；如果只看1小时的，就不知道了。另一方面，如果要测量动力学过程，就需要让能谱随着时间变。这里傅立叶变换丢失时间信息的意思是，假设我们手上有的谱是一年的，我们不知道哪个粒子是一年中哪个月打进来的光子；如果我们的谱的时间分辨率为1个月，我们也不知道是哪一天打进来的光子。如果我们的谱的时间是1天，我们知道是哪天进来的，但是这时能谱就没有那么准确了，因为误差和1/sqrt(N) ， N很小了，误差就大了。当我们获得时间信息时，就丢失了能量信息。所以，一张准确的能谱，就要把时间信息加起来，丢掉它们，换取了能量信息。