多边形面积如何计算多边形面积公式 _小知识

偶然翻看到尘封已久的笔记，看到了海伦公式，灵光一闪：多边形的面积公式？于是开启了数日的苦苦思考，想起了匆匆那年；想起了那些年暗恋的女孩；想起了… 。在多次被虐、哭晕在厕所后，终于有了些许思路，所以赶紧整理分享出来。
三角形面积
如果三角形ABC对应的三条边长为a、b、c，那么三角形的面积如何求呢？
三角形是一个稳定的结构，三条边一旦确定，其面积也随之确定；那三角形的面积是否能用其边长的解析式表示呢？
解：余弦定理：
代入

文章插图
其中，
。
这个公式就是鼎鼎大名的“海伦公式” 。
四边形面积
继续上面“求三角形面积”的思路：边长为a、b、c、d的四边形面积又是什么解析式呢？
分析：与三角形不同的是，四边形是不稳定的（四个边确定后，四边形不唯一，其面积当然也不唯一）；但是这个面积是有上限的、有限的，那这个面积应该会有一个最大值；接下来我们找出这个最值的解。
解：连接B和D
，记

文章插图
使用海伦公式，四边形面积
令

文章插图
。由柯西不等式(可参考文末备注)：
当且仅当
时，等号成立。
即
同理，设
，可得当
时，四边形面积最大。
两个等式，两边相乘得：
。根据托勒密逆定理，这表示当四边形内接于圆时，取到最大面积，最大面积为
其中
。
一般的N边形？
问题：对于给定边长a1、a2、a3、...、an的n边形，其最大面积是否能够使用其边长解析表达？

边长给定的一切多边形中，存在可内接于圆的多边形。
最大面积是存在的，这就是克拉美定理。
由此可以确定这个圆的半径也是确定的，和边长什么关系呢？

各位大神，有没有人能给出确定答案：边长给定的多边形，最大面积、内接圆半径是否可以由其边长表示？
附录

柯西不等式：
最常见的一种形式：

柯西不等式的使用范围很广，形式多样，是一非常重要的工具
论证方法很多，你可以尝试归纳

托勒密定理：
【多边形面积如何计算多边形面积公式】圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和。逆定理也成立。

四边形内接于圆的充要条件为：两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和。

克拉美定理：给定边长

的一切n边形中，能内接于圆的面积最大。

欲知多边形可内接于圆和克拉美定理的论证，以及多边形最大面积公式，且听下回分解。
一般人我不告诉他：更多有趣、有料的数学内容，就在公众号“究尽数学”和“究尽中学数学” 。

文章插图

多边形面积如何计算 多边形面积公式

多边形面积如何计算多边形面积公式