洞察素数的秘密，黎曼猜想与zeta函数( 二 ) _素数

这是一个仍然涉及大量计算的取巧方法。相比之下，拉马努金的天才之处在于，他发现了计算 Zeta 函数取负值时的方法。正如我们前面看到的，它们的和本来是飞速发散到无穷的，但是拉马努金却能把最核心和重要信息提炼出来。使用伯努利数，他计算出 Zeta 函数的输入取负值时的输出值。最终，我们可以画出 Zeta 函数的完整图像。

文章插图

该图像显示，当输入值为正值时，输出值在无穷远处下降，然后缓慢接近 1，右边的图像似乎没有什么有趣的东西。在输入值为负值的左边，函数值来回波动。它有规律地穿过横轴，交点的函数值为 0，这些点毫无意外被称为零点。这些零点本身也并不令人意外，被称为平凡零点（trivial zero）。当输入值为负偶数时，它们会如期出现。而且我们知道它们为什么会出现，因为每两个连续的伯努利数就有一个 0 。这也都在我们的意料之中。
我们没有料到的是—在坐标轴之外还有一些零点。黎曼将 Zeta 函数拓展成可以输入两个数值的函数，画出了其三维图像。从图中可以看到，在原坐标轴的旁边，还有一系列零点。这些零点的出现令人意外，不仅如此，所有我们已经窥见的零点竟然排成了一条直线。

文章插图

Zeta函数的三维图像. 你可以看到平凡零点都在x轴负方向, 还可以看到一些意外出现的零点, 它们排列成一条直线(x=1/2). 这其实是zeta函数的对数图像, 目的是突出零点
这些零点不是平凡零点，它们不能从函数表达式中明显地看出来。对于非平凡零点（non-trivial zero），直到现在，我们还没有完全理解。令人毛骨悚然的是，图象上其他地方完全有可能也有零点，但所有的零点竟然全都立正对齐站成了一条直线，而我们还不知道为什么会这样。这条直线和原来的数轴在 1/2 处垂直。它们随意地分布在直线上，但奇怪的是，它们全在一条直线上。黎曼假设断言 Zeta 函数的所有非平凡零点都在这条直线上。如果我们能够证明黎曼假设是正确的，就能证明计算素数个数的方法是正确的。这种怪异的数学逻辑——零点的直线排布，表现了本质上来源于素数分布密度内含的逻辑性。这看起来似乎没有道理，但总之，如果我们能够窥探零点直线分布的秘密，就会知道素数到底藏在哪里。
虽然一直有人尝试证明黎曼假设，但它至今仍然悬而未决。1914 年，哈代成功证明了这条直线上有无穷多个零点，但他无法证明直线之外没有零点。我们目前已经知道 40%的非平凡零点都在这条直线上，但是无法确切保证 100% 的非平凡零点都在上面。只要这条直线外有一个非平凡零点，黎曼假设就会被推翻，我们建立在其上的素数理解就会顷刻崩塌，但是我们至今一个反例也没有找到。所有事实都显示我们走在正确的轨道上，但是我们就是无法证明它。
1900 年，德国数学戴维·希尔伯特（David Hilbert）列出了一个下个世纪最重要的数学问题表，黎曼假设就位列其中。如果没有黎曼假设，我们就会失去理解素数本质的唯一线索。然而，一个世纪后，克雷数学研究所（Clay Mathematics Institute）再次列出下个世纪的重要数学问题时，黎曼假设仍然赫然在列。直到现在，克雷数学研究所为黎曼假设设置的 100 万美元悬赏仍然没有找到主人。如果谁可以证明 Zeta 函数的所有非平凡零点都在一条直线上，谁就可以拿走这 100 万美元。
【洞察素数的秘密，黎曼猜想与zeta函数】很多数学家做了和黎曼一样的事：在素数计数法的帮助下勇往直前，假设后面有人能够证明它是正确的。这么做看上去很保险：计算机已经检查了前 10 万亿个非平凡零点，它们全在那条直线上。话虽这么说，但有的数学理论就曾被比这还大的数推翻。因此，完全有可能存在跑到直线之外的零点，只不过我们还没碰到而已。证明或推翻黎曼假设会让一群人高兴或伤悲。当然，能证明其正确的人可以得到那 100 万美元的奖金。我觉得还应该单独为推翻它的人设立安慰奖，毕竟他扫了全人类的兴。
顺带提一下，希尔伯特自己对它也持怀疑态度，他认为即便再过 1000 年，这个假说依然不能被证明。他说道：“假如我可以在 1000 年后醒来，我的第一个问题一定是，黎曼假设被证明了吗？”