中国古代的珠算与筹算( 二 ) _小知识

筹算一出现，就严格遵循十进位值制记数法。九以上的数就进一位，同一个数字放在百位就是几百，放在万位就是几万。
算筹记数示意图。图上表示的数是一千九百七十一。
这种记数法，除所用的数字和现今通用的印度一阿拉伯数字形式不同外，和现在的记数法实质是一样伪。筹算是把算筹一面摆成数字，一面进行计算，它的运算程序和现今珠算的运算程序基本相似。记述筹算记数法和运算法则的著作有《孙子算经》(公元四世纪)、《夏侯阳算经》(公元五世纪)和《数术记遗》(公元六世纪) 。负数出现后，算筹分成红黑两种，红筹表示正数，黑筹表示负数。算筹还可以表示各种代数式，进行各种代数运算，方法和现今的分离系数法相似。我国古代在数字计算和代数学方面取得的辉煌成就，和筹算有密切的关系。例如祖冲之的圆周率准确到小数第六位，需要计算正一万二千二百八十八边形的边长，把一个九位数进行二十二次开平方(加、减、乘、除步骤除外) ，如果没有十进位值制的计算方法，那就会困难得多了。
古巴比仑的记数法虽然有位值制的意义，但是它是六十进的，计算比较繁琐。古埃及的数字从一到十只有两个数字符号，从一百到一千万有四个数字符号，而且是象形的，例如用一个鸟表示十万。文化比较发达的古希腊，由于看重几何，轻视计算，记数方法十分落后，用全部希腊字母表示一到一万的数字，字母不够的时候就在字母旁边增加符号“‘” ，如。α表示一千， β表示二千等。现在世界通用的印度一阿拉伯数字和记数法是印度古代人民创造的，但是印度在公元三世纪以前使用的记数法是希腊式和罗马式两种，都不是位值制，真正使用十进位值制记数法出现在公元六世纪末。由此可见，我国古代的十进位值制记数法和筹算，在世界数学史上应该占有重要的地位。
筹算在我国古代用了大约两千年，在生产和科学技术以至人民生活中，发挥了重大的作用。但是它的缺点也是十分明显的：首先，在室外拿着一大把算筹进行计算就很不方便;其次，计算数字的位数越多，所需要的面积越大，受环境和条件的限制;此外，当计算速度加快的时候，很容易由于算筹摆弄不正而造成错误。随着社会的发展，计算技术要求越来越高，筹算需要改革，这是势在必行的。这个改革从中唐以后的商业实用算术开始，经宋元出现大量的计算歌诀，到元末明初珠算的普遍应用，历时七百多年。《新唐书》和《宋史·艺文志》记载了这个时期出现的大量著作。由于封建统治阶级对民间数学十分轻视，以致这些著作的绝大部分已经失传。从遗留下来的著作中可以看出，筹算的改革是从筹算的简化开始而不是从工具改革开始的，这个改革最后导致珠算的出现。
珠算是由筹算演变而来的，这是十分清楚的。筹算数字中，上面一根筹当五，下面一根筹当一，珠算盘中的上一珠也是当五，下一珠也是当一;由于筹算在乘、除法中出现某位数字等于十或多于十的情形(例如26532÷8 ，第一步就是“八二下加四” ，就变成) ，所以珠算盘采用上二珠下五珠的形式。其次，我们可以证明，从杨辉、朱世杰开始到元末丁巨、何平子、贾亨止起除“起一”法外的全部现今通用的珠算歌诀，是为筹算而设的。杨辉的《乘除通变本末》(公元1274年)和朱世杰的《算学启蒙》(公元1299年)已经有相当完备的歌诀，但是杨辉在《乘除通变本末》中说：“下算不出‘横’‘直’” ，其中“横”“直”显然是指算筹的纵横排列，朱世杰在《算学启蒙》中提到“知算纵横数目真” ，也是这个意思。《丁巨算法》(公元1355年)、何平子的《详明算法》(公元1373年)、贾亨的《算法全能》(约公元1373年)也有相当完备的归除歌诀，但是都没有提到珠算，而《详明算法》还有许多筹算算草。歌诀出现后，筹算原来存在的缺点就更突出了，歌诀的快捷和摆弄算筹的迟缓存在矛盾。为了得心应手，劳动人民便创造出更加先进的计算工具——珠算盘。