科学大家@世界是确定还是随机？如何巧妙用数学调查传染病？( 五 ) 专题：《科学大家》聚焦新型冠状病毒

当δ=10、β=8/3和ρ=28时，数值计算发现方程解的轨道呈现出下面的奇怪现象：
无论从哪里出发，所有轨道最终都会跑向以上这个图形，在数学上被称为一个奇异吸引子。
也就是说对于上面的三维方程，从几乎所有的初始点出发，跟踪该点的轨道就会发现，它在做一种非常类似的、看似简单的运动，其运动轨迹最终都会画出如上奇异吸引子的形状。
这个形状大致可分为两个部分，暂且定为左边和右边。但对每一根轨道的每一个时刻，运动出现在左边还是右边是非常随机的，看上去毫无章法。
在吸引子上任意选取一点，它的轨道往往在左边走若干圈后，再到右边走若干圈，然后再回到左边走若干圈，如此往返，以至无穷。
每一次在每一边走的圈数由初始点决定，类似于蝴蝶效应，稍微变动一下初始点位置，但一定时间以后就会出现很大差异，将来出现在左边和右边的次数就与原来完全不一样。也就是说，长时间以后，出现在左边或右边变成完全随机。
Lorenz系统是一个混沌系统。它是一个确定性的动力系统，因为它的运动完全由一组常微分方程确定；但是它具有不可测性，即我们没有任何办法去精确地知道一个点经过长时间运动后的位置。只要时间长了，一个非常小的误差都会给最终测量带来非常大的、不可接受的误差。
五、复杂度、信息量和熵
如果把Lorenz系统的运动轨道按出现在左边或右边分别标记为0或1 ，我们就会发现对于这样一个确定的动力系统，它的运动轨道也与前面一串抛硬币的实验结果一样，可以得到一串由0和1组成的数字序列。在信息学领域，一串摩尔斯密码也给出了一串由0和1组成的序列。
Lorenz系统、抛硬币实验、摩尔斯密码，这三个例子分别代表了确定系统、随机系统和信息传播系统。而从数学的角度来看，它们是一模一样的，没有任何区别。
一根轨道、一串抛硬币实验和一串摩尔斯密码带来的都是一串0或1的字符。所以，这三个系统在本质上不存在所谓的随机和确定的严格区分，而且它们的很多性质可以用同一种方法去研究，比如我可以研究不同系统的复杂性。
熵的概念是度量动力系统复杂性的一种方式，熵越大表示系统越复杂。但在概率论和信息学里同样的概念，或者同样的量，有不同的意义和应用。
熵在概率学或信息论里代表的是信息量，或者说是信息量的期望值。熵越大则信息量越高。信息量在大数据分析里有重要的应用。
熵在网络或信息传播学里代表的是网络容量和传播能力。熵越大则网络容量越大。
综上所述，表面上看这些系统以及相对应的概念是完全不一样的，有时甚至是相对立的，比如说随机和确定的系统，但数学把他们巧妙地统一起来了。
随机？确定？这取决于你观察的位置。
本文根据夏志宏教授2020年3月21日在高山大学和更新学堂联合出品的“科学公益直播”的课程整理而成，经老师审核后公开发布。
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