高等代数( 二 )


的基本内容
代数学从总的问题出发,又发展成为包括许多独立分支的一个大的数学科目,比如:多项式代数、线性代数等 。代数学研究的对象,也已不仅是数,还有矩阵、向量、向量空间的变换等,对于这些对象,都可以进行运算 。虽然也叫做加法或乘法,但是关于数的基本运算定律,有时不再保持有效 。因此代数学的内容可以概括为研究带有运算的一些集合,在数学中把这样的一些集合叫做代数系统 。比如群、环、域等 。
多项式是一类最常见、最简单的函数,它的应用非常广泛 。多项式理论是以代数方程的根的计算和分布作为中心问题的,也叫做方程论 。研究多项式理论,主要在于探讨代数方程的性质,从而寻找简易的解方程的方法 。
多项式代数所研究的内容,包括整除性理论、最大公因式、重因式等 。这些大体上和中学代数里的内容相同 。多项式的整除性质对于解代数方程是很有用的 。解代数方程无非就是求对应多项式的零点,零点不存在的时候,所对应的代数方程就没有解 。
我们知道一次方程叫做线性方程,讨论线性方程的代数就叫做线性代数 。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵 。
行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的,他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作,标题的意思是“解行列式问题的方法”,书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述 。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家莱布尼茨 。德国数学家雅可比于1841年总结并提出了行列式的系统理论 。
行列式有一定的计算规则,利用行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式,因此行列式是解线性方程组的工具 。行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式,也就是说行列式代表着一个数 。
因为行列式要求行数等于列数,排成的表总是正方形的,通过对它的研究又发现了矩阵的理论 。矩阵也是由数排成行和列的数表,可以行数和烈数相等也可以不等 。
矩阵和行列式是两个完全不同的概念,行列式代表着一个数,而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法 。利用矩阵这个工具,可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量;这样对于一个多元线性方程组的解的情况,以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题,就都可以得到彻底的解决 。矩阵的应用是多方面的,不仅在数学领域里,而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用 。
代数学研究的对象,不仅是数,也可能是矩阵、向量、向量空间的变换等,对于这些对象,都可以进行运算,虽然也叫做加法或乘法,但是关于数的基本运算定律,有时不再保持有效 。因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合,在数学中把这样的一些集合,叫做代数系统 。比较重要的代数系统有群论、环论、域论 。群论是研究数学和物理现象的对称性规律的有力工具 。现在群的概念已成为现代数学中最重要的,具有概括性的一个数学的概念,广泛应用于其他部门 。
与其他学科的关系
代数学、几何学、分析数学是数学的三大基础学科,数学的各个分支的发生和发展,基本上都是围绕着这三大学科进行的 。那么代数学与另两门学科的区别在哪儿呢?
首先,代数运算是有限次的,而且缺乏连续性的概念,也就是说,代数学主要是关于离散性的 。尽管在现实中连续性和不连续性是辩证的统一的,但是为了认识现实,有时候需要把它分成几个部分,然后分别地研究认识,在综合起来,就得到对现实的总的认识 。这是我们认识事物的简单但是科学的重要手段,也是代数学的基本思想和方法 。代数学注意到离散关系,并不能说明这时它的缺点,时间已经多次、多方位的证明了代数学的这一特点是有效的 。
其次,代数学除了对物理、化学等科学有直接的实践意义外,就数学本身来说,代数学也占有重要的地位 。代数学中发生的许多新的思想和概念,大大地丰富了数学的许多分支,成为众多学科的共同基础 。