数的创生(一)方程的解( 二 ) _小知识

1. 倍方：给定一个立方体，存在一个大立方体，体积是原来那个的两倍。用尺规作出大立方体的边长。
2. 化圆为方：给定一个圆，存在一个正方形，面积等于这个圆的面积。用尺规作出这个正方形的边长。
3. 三等分角：任给一个角，用尺规把它三等分。
这几个问题合称 “古希腊三大难题” 。其实比这几个更难的作图题还有很多，因为这几个看上去特别简单，所以有名。之后大约两千年都没有人能作出来。到了19世纪，终于有个人能够证明三等分角问题是不可解的。值得注意的是, 这个问题不可解, 是指不存在一个作图程序来三等分 "任意" 的角. 有些特殊的角是可以用尺规三等分的, 比如直角.
后来不久，经过两个英年早逝的天才 Abel 和 Galois 的工作，人们了解到这三个问题有共同的背景------数域的扩张。“ 域”，简单的说就是一些可以做加减乘除的东西放在一起组成的集合，条件是，四则运算的结果必须还在这个集合里。全体自然数不是一个域，因为两个自然数的差就不一定是自然数了;全体整数也不是一个域，因为除法的结果不一定是整数。全体有理数组成一个域 Q, 全体实数组成一个域 R, 全体复数组成一个域 C.
还能有些什么域?比如所有这种数： a+b√3 其中 a, b是有理数，就组成一个域，因为这些数加减乘除以后还是这种形式。这个域比有理数域大. 大多少?可以用 “次数” 来衡量------每个这种数需要两个有理数来表示，所以扩张次数是2 。这是域扩张的最简单的例子。望文生义，域扩张就是把一个域扩大到更大的一个域。
再看这个扩张：要找一个域，包含有理数以及 1 的某个立方根 w. 现在所有 a + bw就不够了。要对乘法封闭，必须包含w2. 所以这个域的每个数都写成 a + bw + c w2 , 其中 a,b,c 是有理数. 这个在有理数域上的扩张的次数是 3 次。
现在来看尺规作图与域的扩张之间的关系。用尺规可以做两条互相垂直的直线，然后可以把两条直线标上刻度 (用圆规)，然后把这个刻度拓展到全平面得到方格点。把这些格点看成坐标是整数的点。然后所能做的事情是，连接两个格点得到一条直线，或者以某个格点为中心，以到另一格点的距离为半径画圆。这些直线和圆的方程的系数都是整数(至少是有理数). 它们之间的交点由解方程组得到。初中数学告诉我们，这些交点的坐标要么是有理数，要么是一些二次方根和有理数做四则运算的结果 (因为圆方程是二次的) 。比如直线 x=y 和圆 x2+y2 = 1 的交点就是( √2 /2，√2 /2 ). 在这些交点的基础上再用尺规作图，交点的坐标应该是一些二次方根里面套二次方根的数，比如
_______
√ 3+5 √ 7 .
这个事实在代数上的意义就是，尺规作图所得交点的坐标，处在有理数域的某种扩张之中。这种扩张的性质是由圆方程的二次性质决定的，即，除去四则运算以外只有累次开平方运算。更准确的说法是，这些交点的坐标, 作为一个数, 满足很多系数是有理数的方程，这些方程中次数最低的那个, 其次数一定是2 的乘方，1, 2, 4, 8, 16, ...。比如这个数
_______
√ 3+5 √ 7 .
满足的有理系数代数方程中次数最低的一个是 (x2 -3)2 = (5 √ 7 )2 = 175. 其次数为 4.
现在很快就能解释倍方问题为什么不可解：倍方问题相当于要作出 2 的 "立方根" 3√ 2 ，它满足的次数最低的有理系数方程是 3 次的( x3 = 2). 根据上面的分析，尺规作图不可能做出这样的数。
三等分角问题还要费一番周折。作出一个角，等价于作出这个角的某个三角函数，比如余弦。一个角 θ 的余弦和它的三等分角 θ/3 的余弦之间的关系是一个三次关系 cos(θ)=4 cos3(θ/3)-3 cos(θ/3) . 等式左边是已知的，所以这个关系是关于三等分角余弦的一个3次有理系数方程。这里可能需要一点小技巧来证明对于一般的角 θ 这个方程就是要求用尺规作出来的那个数满足的次数最低的有理系数方程。这样，根据以前的分析，这个 cos(θ/3) 不可能用尺规做出来。在一些特殊情形, 比如 θ=90度, cos(θ)=0, 两边消去 cos(θ/3), 可知现在 cos(θ/3) 满足一个二次方程。之前的分析并不能排除用尺规作出这个角(30度)的可能。实际上，直角的确可以用尺规三等分。
化圆为方问题就更复杂，涉及到圆周率 π 这个数到底满足一个什么样的有理系数方程。可以证明其实不满足任何有理系数方程。这种数有个名字，超越数。尺规是作不出超越数来的，所以化圆为方是不可能的。
总结：有理数系在 “域的扩张” 这种有限的代数操作下产生新的数，包括一些有理数构成的根式。它们放在一起组成一个新的数系(而且是一个 “数域”，即可以进行加减乘除运算)，称为 “代数数” 。有理数域和代数数域之间存在很多中间域，比如所有尺规作图能作出来的数组成的域。