数学百科小知识:编码理论

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研究信息传输过程中信号编码规律的数学理论 。编码理论与信息论、数理统计、概率论、随机过程、线性代数、近世代数、数论、有限几何和组合分析等学科有密切关系,已成为应用数学的一个分支 。编码是指为了达到某种目的而对信号进行的一种变换 。其逆变换称为译码或解码 。根据编码的目的不同,编码理论有三个分支:①信源编码 。对信源输出的信号进行变换,包括连续信号的离散化,即将模拟信号通过采样和量化变成数字信号,以及对数据进行压缩,提高数字信号传输的有效性而进行的编码 。②信道编码 。对信源编码器输出的信号进行再变换,包括区分通路、适应信道条件和提高通信可靠性而进行的编码 。③保密编码 。对信道编码器输出的信号进行再变换,即为了使信息在传输过程中不易被人窃取而进行的编码 。编码理论在数字化遥测遥控系统、电气通信、数字通信、图像通信、卫星通信、深空通信、计算技术、数据处理、图像处理、自动控制、人工智能和模式识别等方面都有广泛的应用 。
历史背景1843年美国著名画家S.F.B.莫尔斯精心设计出莫尔斯码,广泛应用在电报通信中 。莫尔斯码使用三种不同的符号:点、划和间隔,可看作是顺序三进制码 。根据编码理论可以证明,莫尔斯码与理论上可达到的极限只差15% 。但是直到20世纪30~40年代才开始形成编码理论 。1928年美国电信工程师H.奈奎斯特提出著名的采样定理,为连续信号离散化奠定了基础 。1948年美国应用数学家C.E.香农在《通信中的数学理论》一文中提出信息熵的概念,为信源编码奠定了理论基础 。1949年香农在《有噪声时的通信》一文中提出了信道容量的概念和信道编码定理,为信道编码奠定了理论基础 。无噪信道编码定理(又称香农第一定理)指出,码字的平均长度只能大于或等于信源的熵 。有噪信道编码定理(又称香农第二定理)则是编码存在定理 。它指出只要信息传输速率小于信道容量,就存在一类编码,使信息传输的错误概率可以任意小 。随着计算技术和数字通信的发展,纠错编码和密码学得到迅速的发展 。
在信源编码方面,1951年香农证明,当信源输出有冗余的消息时可通过编码改变信源的输出,使信息传输速率接近信道容量 。1948年香农就提出能使信源与信道匹配的香农编码 。1949年美国麻省理工学院的R.M.费诺提出费诺编码 。1951年美国电信工程师D.A.霍夫曼提出更有效的霍夫曼编码 。此后又出现了传真编码、图像编码和话音编码,对数据压缩进行了深入的研究,解决了数字通信中提出的许多实际问题 。
【数学百科小知识:编码理论】在纠错编码方面,1948年香农就提出一位纠错码(码字长=7,信息码元数=4) 。1949年出现三位纠错的格雷码(码字长=23,信息码元数=12) 。1950年美国数学家R.W.汉明发表论文《检错码和纠错码》,提出著名的汉明码,对纠错编码产生了重要的影响 。1955年出现卷积码 。卷积码至今仍有很广泛的应用 。1957年引入循环码 。循环码构造简单,便于应用代数理论进行设计,也容易实现 。1959年出现能纠正突发错误的哈格伯尔格码和费尔码 。1959年美国的R.C.博斯和D.K.雷乔达利与法国的A.奥昆冈几乎同时独立地发表一种著名的循环码,后来称为 BCH码(即Bose-Chaudhuri-Hocquenghem码) 。1965年提出序贯译码序贯译码已用于空间通信967年A.J.维特比提出最大似然卷积译码,称为维特比译码
1978年出现矢量编码法 。矢量编码法是一种高效率的编码技术 。1980年用数论方法实现里德-所罗门码(Reed-Solomon码),简称RS码 。它实际上是多进制的BCH码 。这种纠错编码技术能使编码器集成电路的元件数减少一个数量级 。它已在卫星通信中得到了广泛的应用 。RS码和卷积码结合而构造的级连码,可用于深空通信 。
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