经典趣味数学 希尔伯特的23个问题( 二 )
该问题已由日本数学家高木贞治(1921)和德国数学家E.阿廷(1927)解决 。
10、丢番图方程的可解性
能求出一个整系数方程的整数根,称为丢番图方程可解 。希尔伯特问,能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性?1970年,苏联的IO.B.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在 。
11、系数为任意代数数的二次型
H.哈塞(1929)和C.L.西格尔(1936,1951)在这个问题上获得重要结果 。
12、将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域上去
这一问题只有一些零星的结果,离彻底解决还相差很远 。
【经典趣味数学 希尔伯特的23个问题】13、不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程
七次方程的根依赖于3个参数a、b、c,即x=x (a,b,c) 。这个函数能否用二元函数表示出来?苏联数学家阿诺尔德解决了连续函数的情形(1957),维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形(1964) 。但如果要求是解析函数,则问题尚未解决 。
14、证明某类完备函数系的有限性
这和代数不变量问题有关 。1958年,日本数学家永田雅宜给出了反例 。
15、舒伯特计数演算的严格基础
一个典型问题是:在三维空间中有四条直线,问有几条直线能和这四条直线都相交?舒伯特给出了一个直观解法 。希尔伯特要求将问题一般化,并给以严格基础 。现在已有了一些可计算的方法,它和代数几何学不密切联系 。但严格的基础迄今仍未确立 。
16、代数曲线和代数曲线面的拓扑问题
这个问题分为两部分 。前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目 。后半部分要求讨论的极限环的最大个数和相对位置,其中X、Y是x、y的n次多项式 。苏联的彼得罗夫斯基曾宣称证明了n=2时极限环的个数不超过3,但这一结论是错误的,已由中国数学家举出反例(1979) 。
17、半正定形式的平方和表示
一个实系数n元多项式对一切数组(x1,x2,...,xn)
都恒大于或等于0,是否都能写成平方和的形式?1927年阿廷证明这是对的 。
18、用全等多面体构造空间
由德国数学家比勃马赫(1910)、荚因哈特(1928)作出部分解决 。
19、正则变分问题的解是否一定解析
对这一问题的研究很少 。C.H.伯恩斯坦和彼得罗夫斯基等得出了一些结果 。
20、一般边值问题
这一问题进展十分迅速,已成为一个很大的数学分支 。目前还在继续研究 。
21、具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明
已由希尔伯特本人(1905)和H.罗尔(1957)的工作解决 。
22、由自守函数构成的解析函数的单值化
它涉及艰辛的黎曼曲面论,1907年P.克伯获重要突破,其他方面尚未解决 。
23、变分法的进一步发展出
这并不是一个明确的数学问题,只是谈了对变分法的一般看法 。20世纪以来变分法有了很大的发展 。
这23问题涉及现代数学大部分重要领域,推动了20世纪数学的发展 。
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