矩阵等价、相似、合同与正定_生活广记

Lemma1.矩阵可逆，当且仅当可以表示为有限个矩阵的乘积.
def矩阵等价若存在可逆矩阵，，使得，则称等价.
def矩阵相似若存在可逆矩阵，使得，则称相似.
def矩阵合同若存在可逆矩阵P，使得，则称合同.
def 正定若，称为正定二次型，为正定矩阵. 其中为实对称矩阵.
Theorem 1.
?(1) 矩阵相似蕴涵矩阵等价.
?(2) 矩阵合同蕴涵矩阵等价.
proof.Trivial.
Theorem 2.矩阵合同，当且仅当有相同的正惯性指数.
Remark.
想知道相似一定合同吗？实对称矩阵相似必合同
一般情况则不一定. 相似未必合同,合同未必相似.
A 的特征值为 3,3,0
B 的特征值为1,1,0
所以A,B合同但不相似.
一般矩阵的相似判断超出线性代数的范围, 需要λ-矩阵的结论, 若当标准形
【矩阵等价、相似、合同与正定】
A,B相似
<=> λE-A 与 λE-B 等价
<=> λE-A 与 λE-B 有相同的行列式因子
<=> λE-A 与 λE-B 有相同的初等因子
相似不一定合同。
实对称矩阵相似一定合同，但其他矩阵没有这种联系。因为实对称矩阵可以对角化，存在正交单位阵，而这个正交单位阵也可以用于合同变换。或者利用特征值和正惯性指数，实对称矩阵相似则特征值相同，合同则正惯性指数相同，因此正交相似可得合同。
性质
（1）反身性：A~?A 。
（2）对称性：若A~?B，则?B~?A 。
（3）传递性：若A~?B ， B~?C，则A~?C 。
（4）若A~?B，则r(A)=r(B)，|A|=|B|，tr（A）=tr（B）。
（5）若A~?B，且A可逆，则B也可逆，且B~?A 。