函数的奇偶性和周期性奇函数的定义 _知识分享

【函数的奇偶性和周期性奇函数的定义】一、函数的奇偶性

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1.定义：
对于函数f(x)，如果对于定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x) ，那么f(x)为奇函数;
对于函数f(x)，如果对于定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)为偶函数;
2.性质：
(1)函数依据奇偶性分类可分为：奇函数非偶函数，偶函数非奇函数，既奇且偶函数，非奇非偶函数;
(2) f(x),g(x)的定义域为D;
(3)图象特点：奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于原点对称;
(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件，奇函数f(x)在原点处有定义，则有f(0)=0;
(5)任意一个定义域关于原点对称的函数f(x)总可以表示为一个奇函数与偶函数的和的形式：f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)=-[f(x)+f(-x)]为偶函数， h(x)=-[f(x)-f(-x)]为奇函数;

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(6)奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性。
3.判断 *** ：
(1)定义法
(2)等价形式：
f(-x)+f(x)=0，f(x)为奇函数;
f(-x)-f(x)=0,f(x)为偶函数。
4.拓展延伸：
(1)一般地，对于函数y=f(x)，定义域内每一个自变量x ，都有f(a+x)=2b-f(a-x)，则y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称;
(2)一般地，对于函数y=f(x)，定义域内每一个自变量x都有f(a+x)=f(a-x) ，则它的图象关于x=a成轴对称。

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二、函数的周期性：
1.定义：
对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当自变量x取定义域内的每一个值时，都有f(x)=f(x+T)成立，那么就称函数y=f(x)为周期函数。
2.图象特点：
将函数y=f(x)的图象向左(右)平移的整数倍个单位，所得的函数图象与函数y=f(x)的图象重合。
3.函数图象的对称性与周期性的关系：
(1)若对于函数y=f(x)定义域内任意一个x都有f(a+x)=f(a-x)且f(b+x)=f(b-x)，(a、b不相等的常数)则函数为周期函数。(周期为：2|a-b|)
(2)若对于函数y=f(x)定义域内任意一个x都有f(a+x)=-f(a-x)且f(b+x)=-f(b-x) ， (a、b不相等的常数)则函数为周期函数。(周期为：2|a-b|)
(3)若对于函数y=f(x)定义域内任意一个x都有f(a+x)=-f(a-x)且f(b+x)=f(b-x)，(a、b不相等的常数)则函数为周期函数。(周期为：4|a-b|)

函数的奇偶性和周期性 奇函数的定义

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