离散时间傅里叶变换的定义 _傅里叶变换离散傅里叶变换

【离散时间傅里叶变换的定义】离散时间傅里叶变换，简称：DTFT ，是傅里叶变换的一种。它将以离散时间nT ，其中， T为采样间隔，作为变量的函数变换到连续的频域，即产生这个离散时间信号的连续频谱，值得注意的是这一频谱是周期的。
离散时间傅里叶变换的性质：
1、周期性；
2、线性性；
3、共轭对称性；
4、卷积特性；
5、相乘特性；
6、对偶性。
如何理解离散傅里叶变换实数形式傅里叶变换一个关于实数离散傅里叶变换(Real DFT)实例先来看一个变换实例，一个原始信号的长度是16 ，于是可以把这个信号分解9个余弦波和9个正弦波（一个长度为N的信号可以分解成N/2+1个正余弦信号，这是为什么呢？结合下面的18个正余弦图,我想从计算机处理。
傅里叶变换离散傅里叶变换是周期为T的周期函数，在周期内满足狄利克雷条件
则可以表示为：
函数向量的点积是这么定义的：

正交定义为：

则向量函数的正交基为，而则是向量函数在正交基中的坐标。
根据欧拉公式

可得：
令
综合、、，指数形式的傅里叶级数展开可以表示为：
任何一个非周期函数可以看成的周期函数，所以对于任意的函数有：

其中
对于有限长度为N的信号：

采样频率，频率的取值也是离散的，取0、、、、、、
首先,离散付立叶变换的定义本身比连续付立叶变换少了一个dt(采样时间间隔）；
然后,对于单频率成分的信号来说,经过矩形窗截断后的频谱在其信号频率处将放大T（做谱时间长度）倍,同样,对于相隔较远的多频率成分信号来说,相应的频率成分的幅值均将因截断而被放大T倍
综合考虑这两种原因的话,也就是说我们用FFT做出的谱实际上是放大了T/dt=N（做谱点数）倍,因此,必须将此结果除以N
单边谱乘以2就是实际的幅值

处理的是离散的时域信号，相当于时域信号与采样函数（周期单位的脉冲函数，多个偏移量不同的脉冲信号加和，单位脉冲信号经傅里叶变换后恒为1）相乘，根据傅里叶变换的乘法定律，变换后的频域函数会以采样频率重复
根据奈奎斯特采样定律，如果信号的频率范围是~ ，采样频率要高于，才不会发生混叠。