菲尔兹奖得主Thurston与庞加莱猜想( 三 ) _知识分享

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图3. 画在平面上的裤子 | 来源：Wikipedia
数学发展的一个方面体现在，能以某种方式区分以前认为是相同的事物。因此，新的修饰词不断被加到流形这个术语前面，以区分不同类型的曲面。例如，我们讨论2维流形、3维流形、双曲流形、以及上面提到的各种类型的流形。双曲流形的每个点周围的区域类似某个维数的双曲空间。空间可以用不同的方式区分，例如曲率。欧氏空间的曲率为零，而双曲空间则具有负曲率。在欧氏平面几何中，经过直线外一点有且仅有一条平行线，而在双曲平面中，经过直线外一点有许多条平行线。瑟斯顿的研究领域就包括双曲流形和空间。
曲面的另一个属性是可定向性，这个概念关系到能否在曲面上保持一致的方向感。图4是著名的莫比乌斯带，它就是不可定向的。将长条（例如长30cm、宽5cm）的两端粘到一起，可以得到圆柱曲面，这是可定向的双面曲面。如果将其中一条短边翻转后再粘到一起，得到的就是莫比乌斯带，它只有一个面，不可定向。另外请注意这个曲面有“边”，这一点与球面不同。

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图4. 不可定向的曲面：莫比乌斯带。如果一只蚂蚁在莫比乌斯带上一直向前爬行，它可以从带子的一面绕到另一面，而无需跨越带子的边界。| 来源：Wikipedia
图5是著名的克莱因瓶曲面，以它的发现者Felix Klein的名字命名。克莱因瓶也是不可定向的，而且它不能在没有自相交的条件下嵌入3维空间，不像莫比斯带能嵌入3维空间。

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图5. 克莱因瓶 | 来源：Wikipedia
图6中不可定向的2维流形是一个被研究得很多的几何对象——没有自相交不能嵌入3维空间的实射影平面。平面几何的3种基本类型是欧氏几何、双曲几何（也称为罗氏几何）和实射影平面。实射影平面是点和线遵循如下性质的一种结构，即任意两条不同的线必须相交于一点。

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图6. 实射影平面 | 来源：Wikipedia
在看过一些不同的2维流形曲面的例子之后，我们再看一个不是流形的例子，或许有助于加深理解。图7是一个圆锥体的两个锥盆，它们相交于三条红线的交点。在这一点，曲面没有一个以该点为中心的开欧氏球，所有其他的点都很好！不过两个锥盆分开后却都是2维流形。

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图7. 在三条红线的交点，曲面没有一个以该点为中心的开欧氏球，因而这是一个不是流形的曲面。| 图片来源：Wikipedia
顺便说一下，也有1维流形。平面上的圆或开线段就是1维流形。数字8或无穷符号∞则不是1维流形，因为在自交点处，这两个集合的局部不是1维开球。
【菲尔兹奖得主Thurston与庞加莱猜想】庞加莱猜想
如何界定一个拓扑的2维欧氏圆？拓扑圆的一个基本性质是它们把平面划分为三个集合：拓扑圆上的点、圆内部的点和圆外部的点。简单的闭合曲线——拓扑圆的另一个名称——遵循这个性质似乎极为明显，以至于在很多年里都没有基于更基础的几何学来证明这是正确的。最后是法国数学家若尔当（Camille Jordan，1838-1922）付诸行动，这个结果被称为若尔当曲线定理：简单闭曲线是拓扑圆，与欧氏圆同胚。

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若尔当曲线定理说明，每一条若尔当曲线都把平面分成一个“内部”区域和一个“外部”区域，且任何从一个区域到另一个区域的道路都必然在某处与环路相交。若尔当曲线定理表面上似乎是十分显然的，但要证明它却十分困难。| 来源：Wikipedia
人们最初认为，把拓扑圆的概念推广到3维空间与球面同胚的曲面是轻而易举的事情。然而，数学家们逐渐认识到，要将图形的属性转换到不同维度的空间并不是那么容易。例如，如果两个简单多边形（多边形的边相交的地方是一个顶点）的面积相同，那么总有办法将其中一个多边形切割成有限数量的简单凸多边形碎片，然后将这些碎片重新组合成另一个多边形，就像玩拼图一样。然而，希尔伯特（1862-1943）的一个学生，也对曲面理论做出了重要贡献的Max Dehn（1878-1952），证明了这个定理的3维版本并不成立（这也是希尔伯特23个问题中的第三个）。也就是说，不可能把立方体切割成有限数量的凸多面体块，然后重新组装成同样体积的正四面体。因此，研究流形和曲面拓扑的数学家对维度转换后2维对象的基本性质能否保留持谨慎态度。