菲尔兹奖得主Thurston与庞加莱猜想( 二 ) _知识分享

瑟斯顿学术生涯的第一年在普林斯顿高等研究院，然后去了MIT担任助理教授，之后在普林斯顿大学担任教授。1991年瑟斯顿离开普林斯顿回到加州大学伯克利分校。两年后，他成为伯克利数学科学研究所（MSRI，成立于1982年）所长。MSRI以多种形式促进数学发展，包括定期举办研讨会和持续一个学期的学术交流，期间就某一特定主题邀请学者访问和研讨。主题可能是傅里叶分析、解析数论、或者几何和拓扑组合学。选定的主题涉及广泛的数学领域及其应用。在瑟斯顿领导MRSI期间，他积极推动研究所扩大活动范围，并热衷于促进公众对数学的认识。
1997年瑟斯顿离开MRSI去了加州大学戴维斯分校，2003年去了康奈尔大学。2011年，他被诊断患有黑色素瘤，2012年去世。为了纪念他，2014年在康奈尔举行了一次会议。
除了菲尔兹奖，瑟斯顿还获得过许多荣誉，包括维布伦几何奖（1976年）和Leroy Steele奖（2012年）。2005年，瑟斯顿的《三维几何和拓扑学》（Three-dimensional Geometry and Topology）获得了第一届美国数学学会图书奖。这本书所依据的讲义已流传多年，在成书之前就影响了许多人。
前面说过菲尔兹奖只颁给40岁以下的人。当然，菲尔兹奖得主在获奖后继续做出精彩的成果是很常见的，瑟斯顿就是如此。有一些数学家则因其最好的工作是在40 岁以后完成而错过菲尔兹奖。后来又有了一些没有年龄限制的顶级奖项，例如邵逸夫奖、阿贝尔奖和沃尔夫奖。
瑟斯顿和流形
数学有许多领域，例如代数和几何，但是通常很难界定特定的数学“属于”哪个领域，因此，人们会谈论几何代数和代数几何。虽然大多数人视瑟斯顿为拓扑学家，但他也研究几何学，他的一些工作被描述为几何拓扑学。
几何和拓扑学家对曲面感兴趣。我们熟悉各种曲面，比如平面、球面、锥面和甜甜圈（环面）。流形是一类特殊的曲面，从其上的每一点看来，临近的区域都类似欧氏空间。更准确地说，流形具有如下性质：流形（曲面）的每一点都位于一个集合的中心，这个集合拓扑等价于一个（开）欧氏球。欧氏球是与给定点的距离小于或等于某个给定实数r（球的半径）的点集。它有两种形式，开球只包含距离严格小于r的点，而闭球还包含距离等于r的点。例如，圆的内部是一个2维开球，也称为开圆。因此，2维流形是有如下性质的曲面，在其每一点都能找到一个（可能的）小集合拓扑等价（同胚）于一个位于那一点的开圆。
如果存在从集合X到集合Y的一对一连续映射函数，并且反函数也是连续的，则称X拓扑等价或同胚于Y 。从拓扑学的角度看，正方形、五角星、椭圆和欧氏圆都是拓扑等价的。请注意，其中一些是光滑曲线，另一些则有角。也有一些人将拓扑描述为橡皮几何学：如果一个集合不经切割或撕裂就能变换为另一个集合，那么两者就是拓扑等价的。简而言之，同胚是“拓扑等价”的专业术语。

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在拓扑学中，一个杯子和一个甜甜圈（实心环面）是等价的，一头母牛和一个球面也是等价的。| 来源：Wikipedia
数学家们在研究流形时会寻找那些帮助我们理解流形结构的定理。图1展示了一系列2维流形，这些曲面（都是有界的）上的任意点的周围，都有一个小集合等价于一个2维圆内部的拓扑拷贝。图中曲面包含的孔的数量各不相同，中间的曲面有1个孔，我们称它的亏格为1 。你也许能想出办法，将中间曲面的多个拷贝连接到左边的曲面，以得到最右边的曲面。

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图1. 包含零个孔、一个孔和多个孔的曲面。| 来源：Manifold Atlas Project
应该怎样对流形分类呢？一个自然的选择是依据流形的维度，比如上面我们看到了球面和环面这类经常遇到的2维流形。除此之外，还有连通、有界、平滑（可微）和紧致的流形，以及有边界的流形。所有这些都是用来刻画特定类型流形的特殊属性。图2展示的曲面被称为3维空间中的裤子。

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图2. 这个曲面被称为3维空间中的裤子。| 来源：Wikipedia
我们也可以考虑在平面上绘制的裤子，如图3所示。在不同的设定下观察同一个“对象”，可以帮助我们更深刻地认识对复杂曲面进行区分的一般性原则。请注意，图中的红色圆圈不是所关注的曲面的一部分。如果我们在曲面加上红圈会发生什么？每个点仍然是某个拓扑圆的中心吗？拓扑学家可能感兴趣的问题是，如果将裤子作为部件拼接起来，得到的曲面会有多少种变体。