如何利用拉格朗日中值定理证明几个不等式,注意最后一个不等式 _知识分享

今天老黄要利用拉格朗日中值定理证明几个不等式，其中最后一个不等式还是比较重要的。是关于正弦函数的一个不等式。下面看题：

证明：(1)若函数f在[a,b]上可导，且f’(x)≥m，则f(b)≥f(a)+m(b-a)；

(2)若函数f在[a,b]上可导，且|f’(x)|≤M，则|f(b)-f(a)|≤M(b-a)；

(3)对任意实数x1,x2都有|sinx1-sinx2|≤|x1-x2|.

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分析：(1)(2)都已知函数f在[a,b]上可导，那么f就在[a,b]上连续，且也在(a,b)上可导，这就符合拉格朗日中值定理的条件。因此在(a,b)上存在一点ξ，使得f\'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a).

(1)中因为f\'(x)>=m, 所以(f(b)-f(a))/(b-a)>=m，两边同时乘以正数(b-a), 就可以得到f(a)>=f(a)+m(b-a). 从而(1)得证。

(2)中因为|f’(x)|≤M，所以|f(b)-f(a)|/(b-a)<=M，两边同时乘以正数(b-a)，就可以得到|f(b)-f(a)|≤M(b-a). 从而(2)也得证。

(3)既可以利用拉格朗日中值定理证明，也可以利用(2)的结论证明。先看怎么利用拉格朗日定理证明。

因为sinx在R上可导，因此在任意闭区间上可导。这里并没有指定x1,和x2的大小，因此这个区间既可能是[x1,x2]，也有可能是[x2,x1] 。我们也可以假设成其中的一种情况。不论是哪种情况，sinx都在这个区间上符合拉格朗日中值定理。

因此在对应的开区间上存在一个点ξ，使得(sinξ)\'=cosξ=(sinx1-sinx2)/(x1-x2). 而|cosξ|<=1，所以|(sinx1-sinx2)/(x1-x2)|<=1，两边同时乘以|x1-x2|，就可以得到|sinx1-sinx2|≤|x1-x2|.得证！

【如何利用拉格朗日中值定理证明几个不等式,注意最后一个不等式】再来看利用(2)的结论证明的方法。(2)中只要函数在闭区间上可导，sinx正好符合。且函数的导函数有界。sinx的导函数是cosx也符合。这样就可以由(2)的结论，得到要证明的不等式了。下面组织解题过程：